問題は、極限$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$を証明することです。

1. 問題の内容

問題は、極限$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$を証明することです。

2. 解き方の手順

自然対数を使って、極限を扱いやすい形に変形します。

まず、$y = (1 + \frac{1}{x})^x$と置きます。両辺の自然対数を取ると、

$\ln y = \ln (1 + \frac{1}{x})^x = x \ln (1 + \frac{1}{x})$

となります。

次に、$x \to \infty$のとき、$\frac{1}{x} \to 0$なので、$t = \frac{1}{x}$と置換すると、$x \to \infty$のとき、$t \to 0$となります。

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \ln y = \lim_{t \to 0} \frac{\ln (1 + t)}{t}$

となります。

$\lim_{t \to 0} \frac{\ln (1 + t)}{t}$は不定形$\frac{0}{0}$なので、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{t \to 0} \frac{\ln (1 + t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{1 + t}}{1} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{1 + t} = 1$

よって、$\lim_{x \to \infty} \ln y = 1$となります。

$\ln$の連続性より、

$\ln (\lim_{x \to \infty} y) = \lim_{x \to \infty} \ln y = 1$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} y = e^1 = e$

ゆえに、

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$

が示されました。

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$