極限 $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$ を示す問題です。ただし、ロピタルの定理は使用しません。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$ を示す問題です。ただし、ロピタルの定理は使用しません。

2. 解き方の手順

自然数 $n$ に対して、$a_n = (1+\frac{1}{n})^n$ および $b_n = (1+\frac{1}{n})^{n+1}$ と定義します。

二項定理を用いると、

$$a_n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{1}{n^k} = \sum_{k=0}^{n} \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!n^k} = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} (1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots(1-\frac{k-1}{n})$$

$n \to \infty$ とすると、$a_n$ は増加数列で上に有界であるため収束します。

$$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^n = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = e$$

また、

$$b_n = (1+\frac{1}{n})^{n+1} = (1+\frac{1}{n})^n (1+\frac{1}{n}) = a_n(1+\frac{1}{n})$$

$n \to \infty$ とすると、

$$\lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^{n+1} = e \cdot 1 = e$$

ここで、$x$ を実数とすると、$n \leq x \leq n+1$ となる自然数 $n$ が存在します。

$$(1+\frac{1}{n+1})^n \leq (1+\frac{1}{x})^x \leq (1+\frac{1}{n})^{n+1}$$

$$\frac{(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}}{1+\frac{1}{n+1}} \leq (1+\frac{1}{x})^x \leq (1+\frac{1}{n})^{n}(1+\frac{1}{n})$$

$x \to \infty$ とすると、$n \to \infty$ なので、

$$e \leq \lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{x})^x \leq e$$

したがって、

$$\lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{x})^x = e$$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$