画像には、以下の５つの定積分の計算結果が示されています。 (a) $\int_{0}^{2\pi} \sin(mx) dx = 0$ (b) $\int_{0}^{2\pi} \cos(mx) dx = 0$ (c) $\int_{0}^{2\pi} \sin(mx) \cos(nx) dx = 0$ (d) $\int_{0}^{2\pi} \sin(mx) \sin(nx) dx = \pi \delta_{mn}$ (e) $\int_{0}^{2\pi} \cos(mx) \cos(nx) dx = \pi \delta_{mn}$ ここで、$m$ と $n$ は整数であり、$\delta_{mn}$ はクロネッカーのデルタです。

1. 問題の内容

画像には、以下の５つの定積分の計算結果が示されています。

(a) $\int_{0}^{2\pi} \sin(mx) dx = 0$

(b) $\int_{0}^{2\pi} \cos(mx) dx = 0$

(c) $\int_{0}^{2\pi} \sin(mx) \cos(nx) dx = 0$

(d) $\int_{0}^{2\pi} \sin(mx) \sin(nx) dx = \pi \delta_{mn}$

(e) $\int_{0}^{2\pi} \cos(mx) \cos(nx) dx = \pi \delta_{mn}$

ここで、$m$ と $n$ は整数であり、$\delta_{mn}$ はクロネッカーのデルタです。

2. 解き方の手順

それぞれの積分を計算し、結果を確認します。

(a) $\int_{0}^{2\pi} \sin(mx) dx$

$m=0$ のとき、$\sin(mx) = 0$ なので、$\int_{0}^{2\pi} 0 dx = 0$

$m \neq 0$ のとき、

$\int_{0}^{2\pi} \sin(mx) dx = \left[ -\frac{1}{m} \cos(mx) \right]_{0}^{2\pi} = -\frac{1}{m} \cos(2\pi m) + \frac{1}{m} \cos(0) = -\frac{1}{m} (1) + \frac{1}{m} (1) = 0$

(b) $\int_{0}^{2\pi} \cos(mx) dx$

$m=0$ のとき、$\cos(mx) = 1$ なので、$\int_{0}^{2\pi} 1 dx = 2\pi$

$m \neq 0$ のとき、

$\int_{0}^{2\pi} \cos(mx) dx = \left[ \frac{1}{m} \sin(mx) \right]_{0}^{2\pi} = \frac{1}{m} \sin(2\pi m) - \frac{1}{m} \sin(0) = \frac{1}{m} (0) - \frac{1}{m} (0) = 0$

(c) $\int_{0}^{2\pi} \sin(mx) \cos(nx) dx$

三角関数の積和の公式を使うと、

$\sin(mx) \cos(nx) = \frac{1}{2} [\sin((m+n)x) + \sin((m-n)x)]$

$\int_{0}^{2\pi} \sin(mx) \cos(nx) dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} [\sin((m+n)x) + \sin((m-n)x)] dx$

$m \neq -n$ かつ $m \neq n$ のとき、積分は 0 になります。

$m = -n$ のとき、$\frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} \sin(0) + \sin(-2nx) dx = 0$

$m = n$ のとき、$\frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} \sin(2nx) + \sin(0) dx = 0$

したがって、$\int_{0}^{2\pi} \sin(mx) \cos(nx) dx = 0$

(d) $\int_{0}^{2\pi} \sin(mx) \sin(nx) dx$

三角関数の積和の公式を使うと、

$\sin(mx) \sin(nx) = \frac{1}{2} [\cos((m-n)x) - \cos((m+n)x)]$

$\int_{0}^{2\pi} \sin(mx) \sin(nx) dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} [\cos((m-n)x) - \cos((m+n)x)] dx$

$m=n$ のとき、$\int_{0}^{2\pi} \sin^2(mx) dx = \pi$

$m \neq n$ のとき、積分は 0 になります。

したがって、$\int_{0}^{2\pi} \sin(mx) \sin(nx) dx = \pi \delta_{mn}$

(e) $\int_{0}^{2\pi} \cos(mx) \cos(nx) dx$

三角関数の積和の公式を使うと、

$\cos(mx) \cos(nx) = \frac{1}{2} [\cos((m-n)x) + \cos((m+n)x)]$

$\int_{0}^{2\pi} \cos(mx) \cos(nx) dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} [\cos((m-n)x) + \cos((m+n)x)] dx$

$m=n$ のとき、$\int_{0}^{2\pi} \cos^2(mx) dx = \pi$

$m \neq n$ のとき、積分は 0 になります。

したがって、$\int_{0}^{2\pi} \cos(mx) \cos(nx) dx = \pi \delta_{mn}$

3. 最終的な答え

(a) $\int_{0}^{2\pi} \sin(mx) dx = 0$

(b) $\int_{0}^{2\pi} \cos(mx) dx = 0$

(c) $\int_{0}^{2\pi} \sin(mx) \cos(nx) dx = 0$

(d) $\int_{0}^{2\pi} \sin(mx) \sin(nx) dx = \pi \delta_{mn}$

(e) $\int_{0}^{2\pi} \cos(mx) \cos(nx) dx = \pi \delta_{mn}$