与えられた極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{k}{\sqrt{n^2 + k^2}}$ の値を求めよ。これは定積分で表され、さらに変数変換を用いて計算できる。

1. 問題の内容

与えられた極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{k}{\sqrt{n^2 + k^2}}$ の値を求めよ。これは定積分で表され、さらに変数変換を用いて計算できる。

2. 解き方の手順

まず、与えられた極限を定積分で表す。

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{k}{\sqrt{n^2 + k^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{\frac{k}{n}}{\sqrt{1 + (\frac{k}{n})^2}} = \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} dx$

次に、積分 $\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} dx$ を計算する。

$1 + x^2 = t$ と置換すると、$dt = 2x dx$ より $x dx = \frac{1}{2} dt$ となる。

積分範囲も変換する必要がある。$x = 0$ のとき $t = 1 + 0^2 = 1$ であり、$x = 1$ のとき $t = 1 + 1^2 = 2$ である。

したがって、積分は以下のようになる。

$\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} dx = \int_1^2 \frac{1}{\sqrt{t}} \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int_1^2 t^{-1/2} dt$

積分を計算する。

$\frac{1}{2} \int_1^2 t^{-1/2} dt = \frac{1}{2} [2 t^{1/2}]_1^2 = [t^{1/2}]_1^2 = \sqrt{2} - \sqrt{1} = \sqrt{2} - 1$

3. 最終的な答え

$\sqrt{2} - 1$