(1) 部分積分の公式 $\int f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) dx$ を証明する。 (2) 定積分 $\int_{1}^{e} x \log x dx$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 部分積分の公式 $\int f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) dx$ を証明する。

(2) 定積分 $\int_{1}^{e} x \log x dx$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 部分積分の公式の証明

積の微分公式 $(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ を積分する。

$\int (f(x)g(x))' dx = \int (f'(x)g(x) + f(x)g'(x)) dx$

$f(x)g(x) = \int f'(x)g(x) dx + \int f(x)g'(x) dx$

移項して、

$\int f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) dx$

(2) 定積分の計算

部分積分を使って計算する。

$f(x) = \log x$, $g'(x) = x$ とおくと、

$f'(x) = \frac{1}{x}$, $g(x) = \frac{x^2}{2}$

$\int_{1}^{e} x \log x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \log x \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \cdot \frac{x^2}{2} dx$

$= \left( \frac{e^2}{2} \log e - \frac{1^2}{2} \log 1 \right) - \frac{1}{2} \int_{1}^{e} x dx$

$= \left( \frac{e^2}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 \right) - \frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{e}$

$= \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2} \left( \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2} \right)$

$= \frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4}$

$= \frac{2e^2 - e^2 + 1}{4}$

$= \frac{e^2 + 1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\int f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) dx$

(2) $\frac{e^2 + 1}{4}$