定積分 $\int_{t-1}^{t} (e^x - x) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{t-1}^{t} (e^x - x) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を積分します。

$\int (e^x - x) dx = e^x - \frac{x^2}{2} + C$

次に、積分区間の上限と下限を代入して計算します。

$\int_{t-1}^{t} (e^x - x) dx = \left[ e^x - \frac{x^2}{2} \right]_{t-1}^{t}$

$= \left( e^t - \frac{t^2}{2} \right) - \left( e^{t-1} - \frac{(t-1)^2}{2} \right)$

$= e^t - \frac{t^2}{2} - e^{t-1} + \frac{(t-1)^2}{2}$

$= e^t - e^{t-1} - \frac{t^2}{2} + \frac{t^2 - 2t + 1}{2}$

$= e^t - e^{t-1} - \frac{t^2}{2} + \frac{t^2}{2} - t + \frac{1}{2}$

$= e^t - e^{t-1} - t + \frac{1}{2}$

$= e^t - \frac{e^t}{e} - t + \frac{1}{2}$

$= e^t \left(1 - \frac{1}{e} \right) - t + \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$e^t \left(1 - \frac{1}{e} \right) - t + \frac{1}{2}$

または、

$e^t \left(\frac{e-1}{e} \right) - t + \frac{1}{2}$

または、

$e^t - e^{t-1} - t + \frac{1}{2}$