$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(2\sin x + \cos x)^3 dx$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(2\sin x + \cos x)^3 dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を展開します。

$(2\sin x + \cos x)^3 = (2\sin x)^3 + 3(2\sin x)^2(\cos x) + 3(2\sin x)(\cos x)^2 + (\cos x)^3 \\

= 8\sin^3 x + 12\sin^2 x \cos x + 6\sin x \cos^2 x + \cos^3 x$

したがって、積分は

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (8\sin^3 x + 12\sin^2 x \cos x + 6\sin x \cos^2 x + \cos^3 x) dx$

となります。

この積分を項ごとに計算します。

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 8\sin^3 x dx = 0$ (奇関数の積分)

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 12\sin^2 x \cos x dx = 12\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos x dx$

$u = \sin x$ と置くと $du = \cos x dx$ となるので、

$12\int_{-1}^{1} u^2 du = 12[\frac{u^3}{3}]_{-1}^{1} = 12(\frac{1}{3} - (-\frac{1}{3})) = 12 \times \frac{2}{3} = 8$

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 6\sin x \cos^2 x dx = 0$ (奇関数の積分)

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x(1-\sin^2 x) dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (\cos x - \cos x \sin^2 x) dx$

$= [\sin x]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \sin^2 x dx = (1 - (-1)) - \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \sin^2 x dx = 2 - \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \sin^2 x dx$

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \sin^2 x dx$ は既に計算済みで、$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \sin^2 x dx = \frac{2}{3}$

よって$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 6\sin x \cos^2 x dx = 6 \times 0 = 0$

また $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x dx = 2 - \int_{-1}^{1} u^2du = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$

したがって、

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (8\sin^3 x + 12\sin^2 x \cos x + 6\sin x \cos^2 x + \cos^3 x) dx = 0 + 8 + 0 + \frac{4}{3} = 8 + \frac{4}{3} = \frac{24+4}{3} = \frac{28}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{28}{3}$