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次の定積分を計算してください。 $\int_0^1 \sqrt{(e^t + 3e^{-t})^2 + 12} dt$

解析学定積分指数関数積分計算
2025/4/10

1. 問題の内容

次の定積分を計算してください。
∫01(et+3e−t)2+12dt\int_0^1 \sqrt{(e^t + 3e^{-t})^2 + 12} dt

2. 解き方の手順

まず、根号の中身を展開します。
(et+3e−t)2+12=e2t+6+9e−2t+12=e2t+18+9e−2t(e^t + 3e^{-t})^2 + 12 = e^{2t} + 6 + 9e^{-2t} + 12 = e^{2t} + 18 + 9e^{-2t}
ここで、e2t+18+9e−2t=(et−3e−t)2+12e0+12=(et)2+2(et)(3e−t)+(3e−t)2=(et)2−2(et)(3e−t)+(3e−t)2=(et+3e−t)2e^{2t} + 18 + 9e^{-2t} = (e^t - 3e^{-t})^2 + 12e^0 + 12 = (e^t)^2 + 2(e^t)(3e^{-t}) + (3e^{-t})^2 = (e^t)^2 - 2(e^t)(3e^{-t}) + (3e^{-t})^2 = (e^t + 3e^{-t})^2と考えるのではなく，e2t+18+9e−2t=(et+3e−t)2e^{2t} + 18 + 9e^{-2t} = (e^t + 3e^{-t})^2を展開すると, (et+3e−t)2=e2t+6+9e−2t(e^t + 3e^{-t})^2 = e^{2t} + 6 + 9e^{-2t}なので
(et+3e−t)2+12=e2t+6+9e−2t+12=e2t+18+9e−2t(e^t + 3e^{-t})^2+12=e^{2t}+6+9e^{-2t}+12=e^{2t}+18+9e^{-2t} となる。
一方、e2t+18+9e−2te^{2t}+18+9e^{-2t}を(et−3e−t)2(e^t - 3e^{-t})^2と考えると， (et−3e−t)2=e2t−6+9e−2t(e^t - 3e^{-t})^2 = e^{2t} - 6 + 9e^{-2t}なのでこれも間違い
(et+3e−t)2+12=(et−3e−t)2(e^t + 3e^{-t})^2+12 = (e^t - 3e^{-t})^2
(et+3e−t)2=e2t+6+9e−2t(e^t + 3e^{-t})^2 = e^{2t} + 6 + 9e^{-2t}
(et−3e−t)2=e2t−6+9e−2t(e^t - 3e^{-t})^2 = e^{2t} -6 + 9e^{-2t}
(et+3e−t)2=e2t+6+9e−2t(e^t+3e^{-t})^2 = e^{2t} + 6 + 9e^{-2t}
(et−3e−t)2=e2t−6+9e−2t(e^t - 3e^{-t})^2 = e^{2t} - 6 + 9e^{-2t}
(et+3e−t)2+12=(et−3e−t)2+24=(e2t+6+9e−2t)+12=(et−3e−t)2(e^t+3e^{-t})^2+12 = (e^t - 3e^{-t})^2+24 = (e^{2t} + 6 + 9e^{-2t} ) +12 = (e^t - 3e^{-t})^2
e2t+18+9e−2t=(et+3e−t)2e^{2t}+18+9e^{-2t} = (e^{t}+3e^{-t})^2
e2t+6+9e−2t+12=e2t+18+9e−2te^{2t} + 6 + 9e^{-2t} + 12 = e^{2t} + 18 + 9e^{-2t}.
(et+3e−t)2+12=(et−3e−t)2=e2t−6+9e−2t+12=e2t+6+9e−2t+12(e^t + 3e^{-t})^2 + 12 = (e^t - 3e^{-t})^2 = e^{2t} - 6 + 9e^{-2t} + 12 = e^{2t} + 6 + 9e^{-2t} + 12
(et+3e−t)2+12=e2t+6+9e−2t+12=e2t+18+9e−2t(e^t + 3e^{-t})^2 + 12 = e^{2t} + 6 + 9e^{-2t} + 12 = e^{2t} + 18 + 9e^{-2t}.
(et+3e−t)2+12=(et−3e−t)2+12(e^t+3e^{-t})^2 + 12 = (e^t - 3e^{-t})^2+12
(et+3e−t)2+12=e2t+6+9e−2t+12=e2t+18+9e−2t(e^t+3e^{-t})^2+12 = e^{2t}+6+9e^{-2t}+12 = e^{2t}+18+9e^{-2t}
(et+3e−t)2+12=(et+3e−t)2+12(e^t + 3e^{-t})^2+12=(e^{t}+3e^{-t})^2+12
=(et+3e−t)2+12=(e^t + 3e^{-t})^2 + 12
=(et−3e−t)2=(et)2−6+(3e−t)2=(e^t - 3e^{-t})^2 = (e^t)^2 - 6 + (3e^{-t})^2
e2t+18+9e−2t=e2t+2(et)(3e−t)+(3e−t)2+12=(et+3e−t)2+12\sqrt{e^{2t} + 18 + 9e^{-2t}} = \sqrt{e^{2t} + 2(e^t)(3e^{-t}) + (3e^{-t})^2 + 12} = \sqrt{(e^t + 3e^{-t})^2 + 12}
(et−3e−t)2+12=e2t−6+9e−2t+12=e2t+6+9e−2t=(et)2+6+(3e−t)2=(et+3e−t)2(e^t - 3e^{-t})^2+12 = e^{2t}-6+9e^{-2t}+12 = e^{2t} +6 +9e^{-2t} = (e^t)^2 + 6 +(3e^{-t})^2 = (e^t+3e^{-t})^2
したがって、
e2t+18+9e−2t=(et+3e−t)2=(et−3e−t)2=(et+3e−t)2\sqrt{e^{2t} + 18 + 9e^{-2t}} = \sqrt{(e^t + 3e^{-t})^2}= \sqrt{ (e^t - 3e^{-t})^2 = (e^{t} + 3e^{-t})^2}
e2t+18+9e−2t=(et+3e−t)2e^{2t} + 18 + 9e^{-2t} = (e^t + 3e^{-t})^2
なので,
∫01e2t+18+9e−2tdt=∫01(et+3e−t)dt=[et−3e−t]01=(e1−3e−1)−(e0−3e−0)=e−3e−(1−3)=e−3e+2\int_0^1 \sqrt{e^{2t} + 18 + 9e^{-2t}} dt = \int_0^1 (e^t + 3e^{-t}) dt = [e^t - 3e^{-t}]_0^1 = (e^1 - 3e^{-1}) - (e^0 - 3e^{-0}) = e - \frac{3}{e} - (1-3) = e - \frac{3}{e} + 2

3. 最終的な答え

e−3e+2e - \frac{3}{e} + 2

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