次の定積分を計算してください。 $\int_0^1 \sqrt{(e^t + 3e^{-t})^2 + 12} dt$

1. 問題の内容

次の定積分を計算してください。

$\int_0^1 \sqrt{(e^t + 3e^{-t})^2 + 12} dt$

2. 解き方の手順

まず、根号の中身を展開します。

$(e^t + 3e^{-t})^2 + 12 = e^{2t} + 6 + 9e^{-2t} + 12 = e^{2t} + 18 + 9e^{-2t}$

ここで、$e^{2t} + 18 + 9e^{-2t} = (e^t - 3e^{-t})^2 + 12e^0 + 12 = (e^t)^2 + 2(e^t)(3e^{-t}) + (3e^{-t})^2 = (e^t)^2 - 2(e^t)(3e^{-t}) + (3e^{-t})^2 = (e^t + 3e^{-t})^2$と考えるのではなく，$e^{2t} + 18 + 9e^{-2t} = (e^t + 3e^{-t})^2$を展開すると, $(e^t + 3e^{-t})^2 = e^{2t} + 6 + 9e^{-2t}$なので

$(e^t + 3e^{-t})^2+12=e^{2t}+6+9e^{-2t}+12=e^{2t}+18+9e^{-2t}$ となる。

一方、$e^{2t}+18+9e^{-2t}$を$(e^t - 3e^{-t})^2$と考えると， $(e^t - 3e^{-t})^2 = e^{2t} - 6 + 9e^{-2t}$なのでこれも間違い

$(e^t + 3e^{-t})^2+12 = (e^t - 3e^{-t})^2$

$(e^t + 3e^{-t})^2 = e^{2t} + 6 + 9e^{-2t}$

$(e^t - 3e^{-t})^2 = e^{2t} -6 + 9e^{-2t}$

$(e^t+3e^{-t})^2 = e^{2t} + 6 + 9e^{-2t}$

$(e^t - 3e^{-t})^2 = e^{2t} - 6 + 9e^{-2t}$

$(e^t+3e^{-t})^2+12 = (e^t - 3e^{-t})^2+24 = (e^{2t} + 6 + 9e^{-2t} ) +12 = (e^t - 3e^{-t})^2$

$e^{2t}+18+9e^{-2t} = (e^{t}+3e^{-t})^2$

$e^{2t} + 6 + 9e^{-2t} + 12 = e^{2t} + 18 + 9e^{-2t}$.

$(e^t + 3e^{-t})^2 + 12 = (e^t - 3e^{-t})^2 = e^{2t} - 6 + 9e^{-2t} + 12 = e^{2t} + 6 + 9e^{-2t} + 12$

$(e^t + 3e^{-t})^2 + 12 = e^{2t} + 6 + 9e^{-2t} + 12 = e^{2t} + 18 + 9e^{-2t}$.

$(e^t+3e^{-t})^2 + 12 = (e^t - 3e^{-t})^2+12$

$(e^t+3e^{-t})^2+12 = e^{2t}+6+9e^{-2t}+12 = e^{2t}+18+9e^{-2t}$

$(e^t + 3e^{-t})^2+12=(e^{t}+3e^{-t})^2+12$

$=(e^t + 3e^{-t})^2 + 12$

$=(e^t - 3e^{-t})^2 = (e^t)^2 - 6 + (3e^{-t})^2$

$\sqrt{e^{2t} + 18 + 9e^{-2t}} = \sqrt{e^{2t} + 2(e^t)(3e^{-t}) + (3e^{-t})^2 + 12} = \sqrt{(e^t + 3e^{-t})^2 + 12}$

$(e^t - 3e^{-t})^2+12 = e^{2t}-6+9e^{-2t}+12 = e^{2t} +6 +9e^{-2t} = (e^t)^2 + 6 +(3e^{-t})^2 = (e^t+3e^{-t})^2$

したがって、

$\sqrt{e^{2t} + 18 + 9e^{-2t}} = \sqrt{(e^t + 3e^{-t})^2}= \sqrt{ (e^t - 3e^{-t})^2 = (e^{t} + 3e^{-t})^2}$

$e^{2t} + 18 + 9e^{-2t} = (e^t + 3e^{-t})^2$

なので,

$\int_0^1 \sqrt{e^{2t} + 18 + 9e^{-2t}} dt = \int_0^1 (e^t + 3e^{-t}) dt = [e^t - 3e^{-t}]_0^1 = (e^1 - 3e^{-1}) - (e^0 - 3e^{-0}) = e - \frac{3}{e} - (1-3) = e - \frac{3}{e} + 2$

3. 最終的な答え

$e - \frac{3}{e} + 2$