定積分 $\int_{0}^{1} \frac{12x}{(2x^2+1)^2} dx$ の値を求めます。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} \frac{12x}{(2x^2+1)^2} dx$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

置換積分を用います。

$u = 2x^2 + 1$ とおくと、$\frac{du}{dx} = 4x$ より $du = 4x dx$ となります。

したがって、$12x dx = 3(4x dx) = 3du$ となります。

積分の範囲も変更する必要があります。

$x=0$ のとき、$u = 2(0)^2 + 1 = 1$

$x=1$ のとき、$u = 2(1)^2 + 1 = 3$

よって、

$\int_{0}^{1} \frac{12x}{(2x^2+1)^2} dx = \int_{1}^{3} \frac{3}{u^2} du = 3 \int_{1}^{3} u^{-2} du$

$u^{-2}$ の積分は $-u^{-1}$ なので、

$3 \int_{1}^{3} u^{-2} du = 3 [-u^{-1}]_{1}^{3} = 3 [-\frac{1}{u}]_{1}^{3} = 3 (-\frac{1}{3} - (-1)) = 3 (-\frac{1}{3} + 1) = 3 (\frac{2}{3}) = 2$

3. 最終的な答え

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