$f(x)$ は $x^2$ の係数が1である2次関数であり、$f(x)$ の原始関数の1つを $F(x)$ とすると、 $F(x) = \frac{1}{6} (x^2 - 3) f'(x)$ が成り立つ。このとき、$f(x)$ を求める。

1. 問題の内容

$f(x)$ は $x^2$ の係数が1である2次関数であり、$f(x)$ の原始関数の1つを $F(x)$ とすると、

$F(x) = \frac{1}{6} (x^2 - 3) f'(x)$ が成り立つ。このとき、$f(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を $f(x) = x^2 + ax + b$ とおく。

$f'(x) = 2x + a$ となる。

$F(x)$ は $f(x)$ の原始関数なので、$F'(x) = f(x)$ である。

$F(x) = \frac{1}{6} (x^2 - 3) (2x + a)$ より、

$F'(x) = \frac{1}{6} \{ 2x (2x + a) + (x^2 - 3) \cdot 2 \} = \frac{1}{6} (4x^2 + 2ax + 2x^2 - 6) = \frac{1}{6} (6x^2 + 2ax - 6) = x^2 + \frac{a}{3} x - 1$

したがって、

$f(x) = x^2 + ax + b = F'(x) = x^2 + \frac{a}{3} x - 1$

係数を比較すると、

$a = \frac{a}{3}$

$b = -1$

$a = \frac{a}{3}$ より $3a = a$ なので、$2a = 0$ となり、$a = 0$ である。

したがって、$f(x) = x^2 - 1$ となる。

3. 最終的な答え

$f(x) = x^2 - 1$