一辺の長さが $a$ の立方体に正四面体が埋め込まれている。この正四面体の体積を求める問題。ただし、問題文には答えが $\frac{1}{2}a^3$ であると書いてあるので、確認問題と考えられる。

1. 問題の内容

一辺の長さが $a$ の立方体に正四面体が埋め込まれている。この正四面体の体積を求める問題。ただし、問題文には答えが $\frac{1}{2}a^3$ であると書いてあるので、確認問題と考えられる。

2. 解き方の手順

立方体の8つの頂点のうち4つを正四面体の頂点として選ぶことで正四面体が構成されていることがわかる。

立方体の体積から、正四面体の周りの四つの三角錐の体積を引くことで正四面体の体積を求める。

それぞれの三角錐は底面が直角二等辺三角形で、高さが $a$ の直角三角錐である。

三角錐一つの体積は、底面積 $\frac{1}{2} a^2$ と高さ $a$ を用いて、

$\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} a^2 \times a = \frac{1}{6} a^3$

となる。三角錐が4つあるので、その体積の合計は

$4 \times \frac{1}{6} a^3 = \frac{2}{3} a^3$

となる。

したがって、正四面体の体積は、立方体の体積 $a^3$ から四つの三角錐の体積の合計を引いて、

$a^3 - \frac{2}{3} a^3 = \frac{1}{3} a^3$

と求められる。

別解として、正四面体の体積の公式を使うこともできる。一辺の長さが$l$の正四面体の体積$V$は

$V = \frac{\sqrt{2}}{12} l^3$

で与えられる。今回の正四面体の一辺の長さは$\sqrt{2} a$であるから、その体積は

$V = \frac{\sqrt{2}}{12} (\sqrt{2} a)^3 = \frac{\sqrt{2}}{12} 2 \sqrt{2} a^3 = \frac{4}{12} a^3 = \frac{1}{3} a^3$

となる。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3} a^3$