2桁の自然数があり、十の位の数は一の位の数より3大きい。十の位の数の2乗、一の位の数の2乗、一の位の数の3つの和を$S$とすると、$S$は元の数より5だけ小さい。一の位を$x$とするとき、以下の問いに答えよ。 (1) 十の位の数を$x$を用いて表せ。また、元の数を$x$を用いて表せ。 (2) $S$を$x$を用いて表せ。 (3) 元の2桁の自然数を求めよ。

1. 問題の内容

2桁の自然数があり、十の位の数は一の位の数より3大きい。十の位の数の2乗、一の位の数の2乗、一の位の数の3つの和を$S$とすると、$S$は元の数より5だけ小さい。一の位を$x$とするとき、以下の問いに答えよ。

(1) 十の位の数を$x$を用いて表せ。また、元の数を$x$を用いて表せ。

(2) $S$を$x$を用いて表せ。

(3) 元の2桁の自然数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 十の位の数は一の位の数$x$より3大きいので、$x+3$と表せる。

元の数は、十の位の数が$x+3$、一の位の数が$x$なので、$10(x+3) + x$と表せる。これを整理する。

$10(x+3) + x = 10x + 30 + x = 11x + 30$

(2) $S$は、十の位の数の2乗、一の位の数の2乗、一の位の数の3つの和なので、

$S = (x+3)^2 + x^2 + x$

これを展開して整理する。

$S = (x^2 + 6x + 9) + x^2 + x = 2x^2 + 7x + 9$

また、$S$は元の数より5だけ小さいので、

$S = (11x + 30) - 5 = 11x + 25$

したがって、$2x^2 + 7x + 9 = 11x + 25$

(3)

(2)より、$2x^2 + 7x + 9 = 11x + 25$

$2x^2 - 4x - 16 = 0$

$x^2 - 2x - 8 = 0$

$(x-4)(x+2) = 0$

$x = 4, -2$

$x$は一の位の数なので、自然数である必要がある。したがって、$x = 4$。

元の数は$11x + 30$なので、$11(4) + 30 = 44 + 30 = 74$

十の位の数は$4+3=7$

3. 最終的な答え

(1) 十の位の数: $x+3$, 元の数: $11x+30$

(2) $S = 2x^2 + 7x + 9$

(3) 74