周囲の長さが1800mの池の周りをA君とB君がそれぞれ一定の速さでジョギングしている。A君の速さを毎分$x$m、B君の速さを毎分$y$mとする。 (1) 同じ地点から反対向きに二人が出発したとき、4分後に初めて出会った。このことから$x, y$の方程式を作れ。また、A君が出発して4分後にB君がA君のあとを追いかけた。B君は出発してから8分後にA君に追いつくことができた。このことから$x, y$の方程式を作れ。 (2) A君とB君の速さ$x, y$をそれぞれ求めよ。 (3) A君とB君が同じ地点から同時に反対向きに出発するとき、出発地点で初めて出会うのは何分後か。また、それは何回目の出会いであるか。

1. 問題の内容

周囲の長さが1800mの池の周りをA君とB君がそれぞれ一定の速さでジョギングしている。A君の速さを毎分$x$m、B君の速さを毎分$y$mとする。

(1) 同じ地点から反対向きに二人が出発したとき、4分後に初めて出会った。このことから$x, y$の方程式を作れ。また、A君が出発して4分後にB君がA君のあとを追いかけた。B君は出発してから8分後にA君に追いつくことができた。このことから$x, y$の方程式を作れ。

(2) A君とB君の速さ$x, y$をそれぞれ求めよ。

(3) A君とB君が同じ地点から同時に反対向きに出発するとき、出発地点で初めて出会うのは何分後か。また、それは何回目の出会いであるか。

2. 解き方の手順

(1)

* 状況①：A君とB君が反対向きに進み4分後に出会うので、A君が進んだ距離$4x$とB君が進んだ距離$4y$の合計が池の周囲の長さ1800mになる。よって、

$4x + 4y = 1800$

* 状況②：A君は4+8=12分走り、B君は8分走る。B君がA君に追いつくとき、B君はA君よりも池を一周多く走っている。したがって、

$12x + 1800 = 8y$

もしくは、

$8y - 12x = 1800$

(2)

(1)で得られた2つの式を連立させて$x, y$を求める。

$4x + 4y = 1800$から$x + y = 450$

$8y - 12x = 1800$から$2y - 3x = 450$

$x + y = 450$から$y = 450 - x$

これを$2y - 3x = 450$に代入して

$2(450 - x) - 3x = 450$

$900 - 2x - 3x = 450$

$5x = 450$

$x = 90$

$y = 450 - x = 450 - 90 = 360$

(3)

A君とB君が反対向きに進むので、2人が出発地点で初めて出会うのは、2人の速さの比が整数の比になっているときである。A君とB君が出発地点で出会うためには、A君もB君もそれぞれ何周か池を回っている必要がある。

2人の速さの比は$x:y = 90:360 = 1:4$である。したがって、A君が4周する間にB君は1周することになる。つまり、2人が出発地点で初めて出会うのは、2人合わせて5周したときである。

2人が出会うまでの時間は、池の周囲の長さを2人の速さの合計で割れば求められる。

$\frac{1800}{90 + 360} = \frac{1800}{450} = 4$分で1回出会うので、5周するには$4 \times 5 = 20$分かかる。20分後に5回目の出会いで、初めて出発地点で出会う。

3. 最終的な答え

(1)

$4x + 4y = 1800$

$8y - 12x = 1800$

(2)

A君の速さ：毎分90m

B君の速さ：毎分360m

(3)

20分後、5回目の出会い