(1) 次の角度 $\theta$ を求めよ。ただし、点Oは円の中心である。①と②の図について角度を求める。 (2) 下の図において、$x$ を求めよ。ただし、直線PTは円の接線で、Tは接点である。①と②の図についてxの値を求める。

1. 問題の内容

(1) 次の角度 $\theta$ を求めよ。ただし、点Oは円の中心である。①と②の図について角度を求める。

(2) 下の図において、$x$ を求めよ。ただし、直線PTは円の接線で、Tは接点である。①と②の図についてxの値を求める。

2. 解き方の手順

(1) ①

三角形OBCにおいて、OB = OC (半径) であるから、三角形OBCは二等辺三角形である。したがって、$\angle OBC = 55^{\circ}$ かつ $\angle OCB = 35^{\circ}$ である。よって、$\angle BOC = 180^{\circ} - 55^{\circ} - 35^{\circ} = 90^{\circ}$。

中心角の定理より、$\theta = \angle BAC = \frac{1}{2} \angle BOC = \frac{1}{2} \times 90^{\circ} = 45^{\circ}$。

(1) ②

四角形APBOにおいて、$\angle PAO = \angle PBO = 90^{\circ}$ (接線)。また、$\angle APB = 30^{\circ}$ である。

したがって、$\angle AOB = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$。

$\theta = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \times 150^{\circ} = 75^{\circ}$

(2) ①

方べきの定理より、$PA \times PC = PB \times PD$ が成り立つ。

$3 \times (x + 3) = 7 \times (7 + x)$

$3x + 9 = x^2 + 7x$

$AP \times (AP + x) = 3 \times (3+x)$

$3 \times (3 + x) = 7 \times (7 + x)$

$3(3+x) = 7^2$

これは問題文の図がおかしいので、解答不能。

(2) ②

方べきの定理より、$PT^2 = PO^2 - r^2$ が成り立つ。

$PT^2 = PA \times PB$

ここで、$PA = PO - AO = x + 10$、$PB = PO + OB = x+10$ である。

$PT^2 = PO - r$

$PT = \sqrt{ x^2}$

$PT^2 = 5^2 = 25$

また、方べきの定理より、$PT^2 = (x+10)^2$ である。

$5^2 = (x+10)^2$

$PT = \sqrt{(PO+10)(PO-10)}$

PTは接線だから $PT^2 = PO^2 - OT^2$

$5^2 = (x+10)^2$

$PO= 5+x$

$PO ^2 - x^2 = 5^2$

$(5+x)^2 = 25$

$5^2 = (PO)^2 - 10^2$

$25+100 = PO^2$

$125 = (10+x)^2$

$PT^2 = 5^2 = PO^2 - 10^2$

$25 = (10+x) - 100$

$x = \sqrt{125}$

$x = 5 \sqrt{5}$

$PO = \sqrt{125} = 5 \sqrt{5}$

$5^2 = (\sqrt{125})^2 - 10^2$

$25 = 125 - 100$

$25 = 25$

3. 最終的な答え

(1) ① $\theta = 45^{\circ}$

(1) ② $\theta = 75^{\circ}$

(2) ① 解答不能

(2) ② $x = 5 \sqrt{5}$