正方形があり、その一辺の長さを $x$ cmとする。この正方形の縦の長さを2倍にし、横の長さを2cm短くして長方形を作ったところ、長方形の面積は元の正方形の面積より3cm²小さくなった。 (1) 新しく作った長方形の縦の長さと横の長さを、$x$を用いて表す。 (2) 元の正方形の一辺の長さを求める。

1. 問題の内容

正方形があり、その一辺の長さを $x$ cmとする。この正方形の縦の長さを2倍にし、横の長さを2cm短くして長方形を作ったところ、長方形の面積は元の正方形の面積より3cm²小さくなった。

(1) 新しく作った長方形の縦の長さと横の長さを、$x$を用いて表す。

(2) 元の正方形の一辺の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) 新しく作った長方形の縦の長さと横の長さを、$x$を用いて表す。

元の正方形の縦の長さは$x$cmなので、長方形の縦の長さは$2x$cmである。

元の正方形の横の長さは$x$cmなので、長方形の横の長さは$(x-2)$cmである。

(2) 元の正方形の一辺の長さを求める。

元の正方形の面積は$x^2$cm²である。

新しく作った長方形の面積は$2x(x-2)$cm²である。

長方形の面積は正方形の面積より3cm²小さいので、以下の式が成り立つ。

$2x(x-2) = x^2 - 3$

この式を解いて、$x$の値を求める。

$2x^2 - 4x = x^2 - 3$

$2x^2 - x^2 - 4x + 3 = 0$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

$(x-1)(x-3) = 0$

$x = 1$ または $x = 3$

$x$は長さを表すので正である。また長方形の横の長さは$x-2$なので、$x>2$でなければならない。よって、$x=1$は不適である。したがって、$x=3$。

3. 最終的な答え

(1) 新しく作った長方形の縦の長さは $2x$ cm、横の長さは $(x-2)$ cm。

(2) 元の正方形の一辺の長さは 3 cm。