与えられた平行四辺形ABCDについて、以下の問いに答えます。 (1) 対角線ACの長さを求めます。 (2) 平行四辺形ABCDの面積を求めます。 ただし、$AB = 6$ cm, $AD = 10$ cm, $\angle BAC = 90^\circ$です。

1. 問題の内容

与えられた平行四辺形ABCDについて、以下の問いに答えます。

(1) 対角線ACの長さを求めます。

(2) 平行四辺形ABCDの面積を求めます。

ただし、$AB = 6$ cm, $AD = 10$ cm, $\angle BAC = 90^\circ$です。

2. 解き方の手順

(1) 対角線ACの長さを求める。

三角形ABCは$\angle BAC = 90^\circ$の直角三角形であるから、三平方の定理より

$BC^2 = AB^2 + AC^2$

平行四辺形なので、$AD = BC = 10$ cmであるから、

$10^2 = 6^2 + AC^2$

$100 = 36 + AC^2$

$AC^2 = 100 - 36 = 64$

$AC = \sqrt{64} = 8$

(2) 平行四辺形ABCDの面積を求める。

平行四辺形の面積は、底辺×高さで求められます。

この場合、底辺をADとすると、高さはABとなります。平行四辺形の面積は

$AD \times AB \times \sin(\angle DAB)$

ここで、$\angle BAC = 90^\circ$より、三角形ABCは直角三角形。

$\sin(\angle ACB) = \frac{AB}{BC} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

$\angle ACB = \angle CAD$ (平行四辺形の錯角)

$\angle CAD = \arcsin(\frac{3}{5})$

$\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 90^\circ + \arcsin(\frac{3}{5})$

よって面積は

$10 \times 6 \times \sin(90^\circ + \arcsin(\frac{3}{5})) = 60 \times \cos(\arcsin(\frac{3}{5}))$

$\cos(\arcsin(\frac{3}{5})) = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$

したがって、平行四辺形の面積は$60 \times \frac{4}{5} = 48$

もう一つの解き方

平行四辺形の面積は2つの三角形の面積の和である。

三角形ABCの面積は$\frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$

平行四辺形ABCDの面積は、三角形ABCの面積の2倍なので、

$24 \times 2 = 48$

3. 最終的な答え

(1) 対角線ACの長さは8 cm

(2) 平行四辺形ABCDの面積は48 $cm^2$