円Oの周上に点A, B, C, D, Eがある。ACとBDの交点をF, ABとDCの延長の交点をGとする。$\angle BDC = 25^\circ$, $\angle AFD = 100^\circ$である。 (1) $\angle x$の大きさを求める。 (2) 点Eが弧AD上を動くとき、 (ア) 四角形ACDEが$AE // CD$の台形となるとき、$\angle CAE$の大きさを求める。 (イ) 四角形ACDEが$AC // ED$の台形となるとき、$\angle CAE$の大きさを求める。

1. 問題の内容

円Oの周上に点A, B, C, D, Eがある。ACとBDの交点をF, ABとDCの延長の交点をGとする。$\angle BDC = 25^\circ$, $\angle AFD = 100^\circ$である。

(1) $\angle x$の大きさを求める。

(2) 点Eが弧AD上を動くとき、

(ア) 四角形ACDEが$AE // CD$の台形となるとき、$\angle CAE$の大きさを求める。

(イ) 四角形ACDEが$AC // ED$の台形となるとき、$\angle CAE$の大きさを求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\angle FDC = \angle BDC = 25^\circ$

$\angle DFC = \angle AFD = 100^\circ$

$\triangle DFC$において、$\angle DCF = 180^\circ - (\angle FDC + \angle DFC) = 180^\circ - (25^\circ + 100^\circ) = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ$

$\angle BAC = \angle BDC = 25^\circ$ (円周角の定理)

$\triangle ABF$において、$\angle ABF = 180^\circ - (\angle BAF + \angle AFB) = 180^\circ - (25^\circ + 100^\circ) = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ$

$\angle ABC = 55^\circ$

$\angle G = x$

$\triangle GBC$において、$\angle GBC = \angle ABC = 55^\circ$

$\angle GCB = \angle DCF = 55^\circ$

$x = 180^\circ - (55^\circ + 55^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$

(2)

(ア) $AE // CD$のとき、$\angle EAC = \angle ACD$ (錯角)。

$\angle ACD = \angle ABD$ (円周角の定理)。

$\angle ABD = \angle ABC = 55^\circ$。

したがって、$\angle EAC = 55^\circ$。

(イ) $AC // ED$のとき、$\angle CAE = \angle AED$ (錯角)。

$\angle ACD = \angle ABD = 55^\circ$。

$\angle ADE = \angle ACE$ (円周角の定理)。

四角形ACDEにおいて、$AC // ED$より、$\angle ACE + \angle CED = 180^\circ$

$\angle E = \angle AED + \angle CED$

$\angle A + \angle E = 180^\circ$

円に内接する四角形より、$\angle ADE + \angle ACE + \angle BAC + \angle CAE = 360^\circ$

$\angle CAE = \angle AED = y$とおくと、$\angle ACE + \angle CED = 180^\circ$

$AC // ED$より、錯角は等しいので、$\angle C A E = \angle AED$

$\angle BAC = \angle BDC = 25^\circ$

四角形ACDEは円に内接しているので、$\angle AED + \angle ACD = 180 - (\angle CAE + \angle ADC)$

$\angle AED + \angle ACD = \angle A + \angle D = 180$

3. 最終的な答え

(1) $\angle x = 70^\circ$

(2) (ア) $\angle CAE = 55^\circ$

(イ) $\angle CAE = 25^\circ$