与えられた条件を満たす直線の式を求める問題です。 (1) 点 $(2, -4)$ を通り、直線 $2x + y - 3 = 0$ に平行な直線の方程式を求めます。 (2) 点 $(-2, 3)$ を通り、直線 $x - 3y - 1 = 0$ に垂直な直線の方程式を求めます。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす直線の式を求める問題です。

(1) 点 $(2, -4)$ を通り、直線 $2x + y - 3 = 0$ に平行な直線の方程式を求めます。

(2) 点 $(-2, 3)$ を通り、直線 $x - 3y - 1 = 0$ に垂直な直線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 平行な直線

直線 $2x + y - 3 = 0$ に平行な直線は、$2x + y + k = 0$ と表すことができます。ここで、$k$ は定数です。この直線が点 $(2, -4)$ を通るので、$x = 2$、$y = -4$ を代入すると、

$2(2) + (-4) + k = 0$

$4 - 4 + k = 0$

$k = 0$

したがって、求める直線の方程式は $2x + y = 0$ となります。

(2) 垂直な直線

直線 $x - 3y - 1 = 0$ の傾きは $\frac{1}{3}$ です。これに垂直な直線の傾きを $m$ とすると、$m \cdot \frac{1}{3} = -1$ より、$m = -3$ となります。

傾き $-3$ で点 $(-2, 3)$ を通る直線の方程式は、点傾きの公式より

$y - 3 = -3(x - (-2))$

$y - 3 = -3(x + 2)$

$y - 3 = -3x - 6$

$3x + y + 3 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $2x + y = 0$

(2) $3x + y + 3 = 0$