$\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}$であることを用いて、$\tan \frac{\pi}{12}$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}$であることを用いて、$\tan \frac{\pi}{12}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

タンジェントの加法定理を利用します。

$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$

ここで、$\alpha = \frac{\pi}{4}$, $\beta = \frac{\pi}{6}$ とすると、

$\tan \frac{\pi}{4} = 1$, $\tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ であるから、

$\tan \frac{\pi}{12} = \tan \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\tan \frac{\pi}{4} - \tan \frac{\pi}{6}}{1 + \tan \frac{\pi}{4} \tan \frac{\pi}{6}}$

$= \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$

分母を有理化するため、分母と分子に $(\sqrt{3} - 1)$ をかけます。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$\tan \frac{\pi}{12} = 2 - \sqrt{3}$