直径が6cmの円Oがある。半径OA上にAC=2cmとなる点Cをとる。AB上にDB=DCとなる点Dをとり、直線DCと円Oとの交点のうち点Dと異なる点をEとする。 (1) $\triangle ACE \sim \triangle DCB$であることを証明する。 (2) $\triangle DCB$の面積を求める。 (3) 線分CEの長さを求める。

1. 問題の内容

直径が6cmの円Oがある。半径OA上にAC=2cmとなる点Cをとる。AB上にDB=DCとなる点Dをとり、直線DCと円Oとの交点のうち点Dと異なる点をEとする。

(1) $\triangle ACE \sim \triangle DCB$であることを証明する。

(2) $\triangle DCB$の面積を求める。

(3) 線分CEの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ACE$と$\triangle DCB$について

* 円周角の定理より、$\angle AEC = \angle DBC$

* 対頂角より、$\angle ACE = \angle DCB$

2つの角がそれぞれ等しいので、$\triangle ACE \sim \triangle DCB$

(2) 半径は$6/2 = 3$cm。$AC = 2$cmなので、$OC = 3-2 = 1$cm。

$DB = DC$より、$\triangle DCB$は二等辺三角形。したがって、$\angle DCB = \angle DBC$。

$\angle COB = 30^\circ$である。$\angle DOB = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ$。

点Dから線分ABに垂線を下ろし、交点をFとする。

$\triangle DBO$において、$DB=DC$なので、$\angle DBC = \angle DCB = 30^\circ$となる。

$\angle ODB = (180-2*30)/2 = 60$度

$OD=3$なので、$OF = OD \cdot \cos(60^\circ) = 3 \cdot (1/2) = 3/2$

$DF = OD \cdot \sin(60^\circ) = 3 \cdot (\sqrt{3}/2) = (3\sqrt{3})/2$

$FB = OB - OF = 3 - 3/2 = 3/2$

$DB = \sqrt{DF^2 + FB^2} = \sqrt{((3\sqrt{3})/2)^2 + (3/2)^2} = \sqrt{27/4 + 9/4} = \sqrt{36/4} = \sqrt{9} = 3$

よって、$\triangle DCB$の面積は、$(1/2) \cdot DB \cdot DF = (1/2) \cdot 3 \cdot (3\sqrt{3})/2 = (9\sqrt{3})/4$

(3) $\triangle ACE \sim \triangle DCB$より、$AC/DC = CE/CB$

$AC=2$, $CB = 3+3 = 6$, $DC = DB = 3$

$2/3 = CE/6$

$CE = 2/3 * 6 = 4$

3. 最終的な答え

(1) $\triangle ACE \sim \triangle DCB$ (証明完了)

(2) $\triangle DCB$の面積: $\frac{9\sqrt{3}}{4} \text{cm}^2$

(3) CEの長さ: $4$cm