$r \ge 0$とし、媒介変数$\theta$によって表される関数 $\begin{cases} x = r \cos \theta \\ y = r \sin \theta \end{cases}$ について、以下の問いに答えます。 (1) $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ を示してください。 (2) この曲線のグラフを $xy$ 平面に描いてください。 (3) この曲線上の任意の点$P$をとるとき、$r$と$\theta$が示すものは何か、上のグラフに書き入れてください。 (4) 今、$r = f(\theta)$ ($r$は$\theta$の関数)と表されたとすると、次の媒介変数表示の関数になります。 $\begin{cases} x = f(\theta) \cos \theta \\ y = f(\theta) \sin \theta \end{cases}$ このとき、$\frac{dy}{dx}$を$\theta$を用いて表してください。

## 問題16

1. **問題の内容**

$r \ge 0$とし、媒介変数$\theta$によって表される関数

$\begin{cases}

x = r \cos \theta \\

y = r \sin \theta

\end{cases}$

について、以下の問いに答えます。

(1) $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ を示してください。

(2) この曲線のグラフを $xy$ 平面に描いてください。

(3) この曲線上の任意の点$P$をとるとき、$r$と$\theta$が示すものは何か、上のグラフに書き入れてください。

(4) 今、$r = f(\theta)$ ($r$は$\theta$の関数)と表されたとすると、次の媒介変数表示の関数になります。

$\begin{cases}

x = f(\theta) \cos \theta \\

y = f(\theta) \sin \theta

\end{cases}$

このとき、$\frac{dy}{dx}$を$\theta$を用いて表してください。

2. **解き方の手順**

(1) $x^2 + y^2$を計算し、$r^2$に等しいことを示します。

$x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$ を代入すると、

$x^2 + y^2 = (r \cos \theta)^2 + (r \sin \theta)^2 = r^2 \cos^2 \theta + r^2 \sin^2 \theta = r^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = r^2$

したがって、$r = \sqrt{x^2 + y^2}$となります。

(2) $r$は0以上であるという条件のもとで、$r = \sqrt{x^2 + y^2}$より、これは原点からの距離が$r$である点の集合を表します。つまり、原点を中心とする半径$r$の円を表します。

(3) この曲線上の任意の点Pをとるとき、$r$は原点Oから点Pまでの距離を表します。$\theta$はx軸の正の部分から、点Pを結ぶ線分OPまでの反時計回りの角度を表します。

(4) 媒介変数表示された関数の微分を利用します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$

$x = f(\theta) \cos \theta$を$\theta$で微分すると、積の微分公式より、

$\frac{dx}{d\theta} = f'(\theta) \cos \theta - f(\theta) \sin \theta$

$y = f(\theta) \sin \theta$を$\theta$で微分すると、積の微分公式より、

$\frac{dy}{d\theta} = f'(\theta) \sin \theta + f(\theta) \cos \theta$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{f'(\theta) \sin \theta + f(\theta) \cos \theta}{f'(\theta) \cos \theta - f(\theta) \sin \theta}$

3. **最終的な答え**

(1) $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ (証明済み)

(2) 原点を中心とする半径$r$の円

(3) $r$: 原点から点Pまでの距離、$\theta$: x軸の正の部分から線分OPまでの反時計回りの角度

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{f'(\theta) \sin \theta + f(\theta) \cos \theta}{f'(\theta) \cos \theta - f(\theta) \sin \theta}$