$\alpha$は鈍角であり、$\sin \alpha = \frac{3}{5}$のとき、$\frac{5\cos \alpha - 2}{8\tan \alpha + 5}$の値を求める。

1. 問題の内容

$\alpha$は鈍角であり、$\sin \alpha = \frac{3}{5}$のとき、$\frac{5\cos \alpha - 2}{8\tan \alpha + 5}$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$という関係式を用いて、$\cos \alpha$の値を求める。$\sin \alpha = \frac{3}{5}$を代入すると、

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\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1

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\cos^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}

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$\cos \alpha = \pm \frac{4}{5}$となる。

$\alpha$は鈍角であるため、$\cos \alpha < 0$である。したがって、$\cos \alpha = -\frac{4}{5}$となる。

次に、$\tan \alpha$の値を求める。$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$であるから、

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\tan \alpha = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}

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$\cos \alpha$と$\tan \alpha$の値を$\frac{5\cos \alpha - 2}{8\tan \alpha + 5}$に代入する。

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\frac{5\cos \alpha - 2}{8\tan \alpha + 5} = \frac{5(-\frac{4}{5}) - 2}{8(-\frac{3}{4}) + 5} = \frac{-4 - 2}{-6 + 5} = \frac{-6}{-1} = 6

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3. 最終的な答え

6