数字 2, 3, 5, 7 が書かれたカードがそれぞれ1枚ずつ、合計4枚ある。この4枚のカードから1枚ずつ3回続けて取り出し、取り出した順に左から右へ並べて3桁の整数を作る。以下の確率または場合の数を求めよ。 (1) 3桁の整数のすべての数 (2) その整数が5の倍数になる確率 (3) その整数が奇数になる確率 (4) その整数が500より大きくなる確率 (5) その整数の百の位の数を a, 十の位の数を b, 一の位の数を c とするとき、a < b < c となる確率

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

数字 2, 3, 5, 7 が書かれたカードがそれぞれ1枚ずつ、合計4枚ある。この4枚のカードから1枚ずつ3回続けて取り出し、取り出した順に左から右へ並べて3桁の整数を作る。以下の確率または場合の数を求めよ。

(1) 3桁の整数のすべての数

(2) その整数が5の倍数になる確率

(3) その整数が奇数になる確率

(4) その整数が500より大きくなる確率

(5) その整数の百の位の数を a, 十の位の数を b, 一の位の数を c とするとき、a < b < c となる確率

2. 解き方の手順

(1) 3桁の整数のすべての数

1桁目は4通りの選択肢があり、2桁目は残りの3通りの選択肢があり、3桁目は残りの2通りの選択肢があるので、

$4 \times 3 \times 2 = 24$ 通り。

(2) その整数が5の倍数となる確率

3桁の整数が5の倍数になるには、一の位が5である必要がある。一の位が5である場合の数は、1桁目が3通り、2桁目が2通りなので、

$3 \times 2 = 6$ 通り。

したがって、確率は $\frac{6}{24} = \frac{1}{4}$。

(3) その整数が奇数となる確率

3桁の整数が奇数になるには、一の位が3, 5, 7のいずれかである必要がある。

* 一の位が3の場合：1桁目は3通り、2桁目は2通りなので、 $3 \times 2 = 6$通り。

* 一の位が5の場合：1桁目は3通り、2桁目は2通りなので、 $3 \times 2 = 6$通り。

* 一の位が7の場合：1桁目は3通り、2桁目は2通りなので、 $3 \times 2 = 6$通り。

合計で $6 + 6 + 6 = 18$通り。

したがって、確率は $\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$。

(4) その整数が500より大きくなる確率

3桁の整数が500より大きくなるには、百の位が5または7である必要がある。

* 百の位が5の場合：十の位は3通り、一の位は2通りなので、$3 \times 2 = 6$通り。

* 百の位が7の場合：十の位は3通り、一の位は2通りなので、$3 \times 2 = 6$通り。

合計で $6 + 6 = 12$通り。

したがって、確率は $\frac{12}{24} = \frac{1}{2}$。

(5) その整数の百の位の数を a, 十の位の数を b, 一の位の数を c とするとき、a < b < c となる確率

a < b < cとなる組み合わせは、(2, 3, 5), (2, 3, 7), (2, 5, 7), (3, 5, 7) の4通り。

したがって、確率は $\frac{4}{24} = \frac{1}{6}$。

3. 最終的な答え

(1) 24通り

(2) $\frac{1}{4}$

(3) $\frac{3}{4}$

(4) $\frac{1}{2}$

(5) $\frac{1}{6}$