3点 A(2,0), B(-2,0), C($2\sqrt{3}$, $2+2\sqrt{3}$) を通る円の方程式を求める。

1. 問題の内容

3点 A(2,0), B(-2,0), C($2\sqrt{3}$, $2+2\sqrt{3}$) を通る円の方程式を求める。

2. 解き方の手順

円の方程式を $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ とする。

A(2,0) を通るので、$(2-a)^2 + (0-b)^2 = r^2$ より、

$(2-a)^2 + b^2 = r^2$ ...(1)

B(-2,0) を通るので、$(-2-a)^2 + (0-b)^2 = r^2$ より、

$(-2-a)^2 + b^2 = r^2$ ...(2)

C($2\sqrt{3}$, $2+2\sqrt{3}$) を通るので、$(2\sqrt{3}-a)^2 + (2+2\sqrt{3}-b)^2 = r^2$ ...(3)

(1)と(2)より、

$(2-a)^2 + b^2 = (-2-a)^2 + b^2$

$4 - 4a + a^2 = 4 + 4a + a^2$

$-4a = 4a$

$8a = 0$

$a = 0$

(1)に $a=0$ を代入して $4 + b^2 = r^2$ ...(4)

(3)に $a=0$ を代入して $(2\sqrt{3})^2 + (2+2\sqrt{3}-b)^2 = r^2$

$12 + (2+2\sqrt{3}-b)^2 = r^2$ ...(5)

(4)と(5)より、

$12 + (2+2\sqrt{3}-b)^2 = 4 + b^2$

$12 + 4 + 8\sqrt{3} + 12 - 4b - 4\sqrt{3}b + b^2 = 4 + b^2$

$28 + 8\sqrt{3} - 4b - 4\sqrt{3}b = 4$

$24 + 8\sqrt{3} = 4b + 4\sqrt{3}b$

$6 + 2\sqrt{3} = b + \sqrt{3}b$

$6 + 2\sqrt{3} = (1 + \sqrt{3})b$

$b = \frac{6 + 2\sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} = \frac{2(3 + \sqrt{3})}{1 + \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{1 + \sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$

$b = 2\sqrt{3}$

(4)に $b = 2\sqrt{3}$ を代入して $4 + (2\sqrt{3})^2 = r^2$

$4 + 12 = r^2$

$r^2 = 16$

よって、円の方程式は $x^2 + (y-2\sqrt{3})^2 = 16$

3. 最終的な答え

$x^2 + (y-2\sqrt{3})^2 = 16$