$\cos \alpha = \frac{3}{4}$ (ただし、$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$) のとき、$\cos \frac{\alpha}{2}$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\cos \alpha = \frac{3}{4}$ (ただし、$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$) のとき、$\cos \frac{\alpha}{2}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

半角の公式 $\cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2}$ を用います。

$\cos \alpha = \frac{3}{4}$ を代入して、

$\cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \frac{3}{4}}{2} = \frac{\frac{7}{4}}{2} = \frac{7}{8}$

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ より、$0 < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{4}$ なので、$\cos \frac{\alpha}{2} > 0$ です。

したがって、$\cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{7}{8}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{4}$

3. 最終的な答え

$\cos \frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{14}}{4}$