直線 $-3x - 5y + 1 = 0$ と点 $(2, -1)$ で直交する直線を求めます。

1. 問題の内容

直線 $-3x - 5y + 1 = 0$ と点 $(2, -1)$ で直交する直線を求めます。

2. 解き方の手順

ステップ1: 与えられた直線の傾きを求める。

与えられた直線の方程式は $-3x - 5y + 1 = 0$ です。これを $y$ について解き、傾きの形にします。

$-5y = 3x - 1$

$y = -\frac{3}{5}x + \frac{1}{5}$

したがって、与えられた直線の傾きは $-\frac{3}{5}$ です。

ステップ2: 求める直線の傾きを求める。

2つの直線が直交するとき、それらの傾きの積は $-1$ になります。

求める直線の傾きを $m$ とすると、

$m \times (-\frac{3}{5}) = -1$

$m = \frac{5}{3}$

ステップ3: 求める直線の方程式を求める。

求める直線は、傾きが $\frac{5}{3}$ であり、点 $(2, -1)$ を通ります。

点傾き式 $y - y_1 = m(x - x_1)$ を使用すると、

$y - (-1) = \frac{5}{3}(x - 2)$

$y + 1 = \frac{5}{3}x - \frac{10}{3}$

$y = \frac{5}{3}x - \frac{10}{3} - 1$

$y = \frac{5}{3}x - \frac{13}{3}$

ステップ4: 一般形に変形する

両辺に3をかけます。

$3y = 5x - 13$

移項して、一般形 $ax+by+c=0$ にします。

$5x - 3y - 13 = 0$

3. 最終的な答え

$5x - 3y - 13 = 0$