定積分 $\int_{1}^{3} x(x+5)(x-5) dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{3} x(x+5)(x-5) dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を整理します。

$x(x+5)(x-5) = x(x^2 - 25) = x^3 - 25x$

次に、不定積分を計算します。

$\int (x^3 - 25x) dx = \frac{1}{4}x^4 - \frac{25}{2}x^2 + C$

ここで、$C$は積分定数です。

最後に、定積分を計算します。

$\int_{1}^{3} (x^3 - 25x) dx = \left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{25}{2}x^2 \right]_{1}^{3}$

$= \left( \frac{1}{4}(3^4) - \frac{25}{2}(3^2) \right) - \left( \frac{1}{4}(1^4) - \frac{25}{2}(1^2) \right)$

$= \left( \frac{81}{4} - \frac{225}{2} \right) - \left( \frac{1}{4} - \frac{25}{2} \right)$

$= \frac{81}{4} - \frac{450}{4} - \frac{1}{4} + \frac{50}{4}$

$= \frac{81 - 450 - 1 + 50}{4}$

$= \frac{-320}{4}$

$= -80$

3. 最終的な答え

$-80$