定積分 $\int_{1}^{3} (x+5)(x-5) dx$ を計算する。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{3} (x+5)(x-5) dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、積分対象の関数を展開します。

$(x+5)(x-5) = x^2 - 25$

次に、不定積分を求めます。

$\int (x^2 - 25) dx = \frac{1}{3}x^3 - 25x + C$

最後に、定積分を計算します。

$\int_{1}^{3} (x^2 - 25) dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 - 25x \right]_{1}^{3}$

$= \left( \frac{1}{3}(3^3) - 25(3) \right) - \left( \frac{1}{3}(1^3) - 25(1) \right)$

$= (9 - 75) - (\frac{1}{3} - 25)$

$= -66 - (\frac{1}{3} - \frac{75}{3})$

$= -66 - (-\frac{74}{3})$

$= -66 + \frac{74}{3}$

$= -\frac{198}{3} + \frac{74}{3}$

$= -\frac{124}{3}$

3. 最終的な答え

$-\frac{124}{3}$