2点 $A(-2, 0)$ と $B(4, 0)$ が与えられたとき、$AP:BP = 1:2$ を満たしながら動く点 $P$ の軌跡が円になる。その円の中心の座標と半径を求める。

1. 問題の内容

2点 $A(-2, 0)$ と $B(4, 0)$ が与えられたとき、$AP:BP = 1:2$ を満たしながら動く点 $P$ の軌跡が円になる。その円の中心の座標と半径を求める。

2. 解き方の手順

点 $P$ の座標を $(x, y)$ とする。$AP:BP = 1:2$ より、$2AP = BP$ が成り立つ。

よって、$4AP^2 = BP^2$ となる。

$AP^2 = (x - (-2))^2 + (y - 0)^2 = (x + 2)^2 + y^2$

$BP^2 = (x - 4)^2 + (y - 0)^2 = (x - 4)^2 + y^2$

したがって、$4((x + 2)^2 + y^2) = (x - 4)^2 + y^2$

$4(x^2 + 4x + 4 + y^2) = x^2 - 8x + 16 + y^2$

$4x^2 + 16x + 16 + 4y^2 = x^2 - 8x + 16 + y^2$

$3x^2 + 24x + 3y^2 = 0$

$x^2 + 8x + y^2 = 0$

平方完成を行う。

$(x + 4)^2 - 16 + y^2 = 0$

$(x + 4)^2 + y^2 = 16$

これは中心 $(-4, 0)$, 半径 $4$ の円を表す。

3. 最終的な答え

中心 $(-4, 0)$, 半径 $4$