三角形ABCにおいて、$AB=5$, $BC=\sqrt{39}$, $CA=2$である。 (1) $\angle A$の大きさと$\triangle ABC$の面積を求める。 (2) $\triangle ABC$の外接円Oの半径を求める。 (3) $\angle A$の二等分線と円Oの交点のうち、Aと異なる点をDとする。 (i) $BD$と$AD$の長さを求める。 (ii) 線分$AD$と辺$BC$の交点をEとするとき、$DE$の長さを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=5$, $BC=\sqrt{39}$, $CA=2$である。

(1) $\angle A$の大きさと$\triangle ABC$の面積を求める。

(2) $\triangle ABC$の外接円Oの半径を求める。

(3) $\angle A$の二等分線と円Oの交点のうち、Aと異なる点をDとする。

(i) $BD$と$AD$の長さを求める。

(ii) 線分$AD$と辺$BC$の交点をEとするとき、$DE$の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理を用いて$\angle A$を求める。

$\cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2AB \cdot AC} = \frac{5^2 + 2^2 - (\sqrt{39})^2}{2 \cdot 5 \cdot 2} = \frac{25 + 4 - 39}{20} = \frac{-10}{20} = -\frac{1}{2}$

したがって、$\angle A = 120^\circ$

$\triangle ABC$の面積Sは、$S = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2 \cdot \sin 120^\circ = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$

(2) 正弦定理を用いて外接円の半径Rを求める。

$\frac{BC}{\sin A} = 2R$

$2R = \frac{\sqrt{39}}{\sin 120^\circ} = \frac{\sqrt{39}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{39}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{\frac{39}{3}} = 2\sqrt{13}$

$R = \sqrt{13}$

(3) (i) $\angle BAD = \angle CAD = \frac{1}{2} \angle A = 60^\circ$

円周角の定理より、$\angle BDA = \angle BCA$

$\angle BCD = \angle BAD = 60^\circ$

$\angle CBD = \angle CAD = 60^\circ$

$\triangle BCD$は正三角形なので、$BD = BC = \sqrt{39}$

$\angle ABD = \angle ABC + \angle CBD = \angle ABC + 60^\circ$

$\angle ADB = \angle ACB$

$\angle BAD = 60^\circ$

$\triangle ABD$で正弦定理を用いると、

$\frac{BD}{\sin \angle BAD} = \frac{AD}{\sin \angle ABD}$

$\angle ABD = \angle ACD = \frac{\sqrt{39}}{\sin 60^\circ}$

円周角の定理より$\angle DBC = \angle DAC = 60^\circ$,$\angle DCB = \angle DAB = 60^\circ$

したがって$\triangle DBC$は正三角形。ゆえに$BD = BC = \sqrt{39}$

$\angle BCD = 60^\circ$,$\angle BCA = \angle BDA$

$\angle ABD = \angle ACD$

$\triangle ABD$で正弦定理より、

$\frac{BD}{\sin 60^\circ} = \frac{AD}{\sin \angle ABD} = 2R = 2\sqrt{13}$

$\frac{\sqrt{39}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2\sqrt{13}$

$AD = \frac{BD \cdot \sin ABD}{\sin \angle BAD} = AB+AC = 5+2 = 7$

(ii) $\triangle ABE$において、$\angle BAE = \angle CAE = 60^\circ$なので、角の二等分線の定理より、

$BE:EC = AB:AC = 5:2$

$BE = \frac{5}{5+2}BC = \frac{5}{7}\sqrt{39}$

$AE$は$\angle A$の二等分線であるから、$AD$であり、$\triangle ABE$にメネラウスの定理を用いて、

$\frac{BD}{DA} \cdot \frac{AE}{EC} \cdot \frac{CB}{BE} = 1$

$\frac{\sqrt{39}}{7} \cdot \frac{CE}{EB} \cdot \frac{\sqrt{39}}{5\sqrt{39}/7} = 1$

$AD = 7$,$AE = x$,$DE = 7-x$

$\frac{\sqrt{39}}{7} \cdot \frac{\frac{2\sqrt{39}}{7}}{x} =1$

$AB:AC = BE:EC =5:2$

$BC = BE+EC$

$AE = AD - ED$

$\frac{5+2}{5\sqrt{39}/7} \frac{CD}{DA} \cdot \frac{AE}{EC} \cdot \frac{CB}{BE} = 1$

$CD\cdot BD = AD \cdot ED$

$\frac{BE}{EC} = \frac{AB}{AC} = \frac{5}{2}$　より、$BE= \frac{5}{7}BC$

$BE=\frac{5 \sqrt{39}}{7}$、$EC = \frac{2 \sqrt{39}}{7}$

$\triangle ABE$, $\frac{BD}{DA} \cdot \frac{AE}{EB} \cdot \frac{BE}{EA} = 1$

方べきの定理より、$BE \cdot EC = AE \cdot ED$

$\frac{5\sqrt{39}}{7} \cdot \frac{2\sqrt{39}}{7} = AE \cdot ED$

$\frac{10 \cdot 39}{49} = AE \cdot ED$

$\frac{390}{49} = AE \cdot ED$

$DE = AD - AE$より、$AE = AD - DE = 7 - DE$

$\frac{390}{49} = (7 - DE) \cdot DE$

$390 = 49 (7DE - DE^2)$

$390 = 343DE - 49DE^2$

$49DE^2 - 343DE + 390 = 0$

$DE = \frac{343 \pm \sqrt{343^2 - 4\cdot 49 \cdot 390}}{2 \cdot 49} = \frac{343 \pm \sqrt{117649 - 76440}}{98} = \frac{343 \pm \sqrt{41209}}{98} = \frac{343 \pm 203}{98}$

$DE_1 = \frac{343+203}{98} = \frac{546}{98} = \frac{39}{7} \approx 5.57$

$DE_2 = \frac{343-203}{98} = \frac{140}{98} = \frac{10}{7} \approx 1.43$

$DE = \frac{10}{7}$

3. 最終的な答え

(1) $\angle A = 120^\circ$, $\triangle ABC$の面積 = $\frac{5\sqrt{3}}{2}$

(2) 外接円の半径 = $\sqrt{13}$

(3) (i) $BD = \sqrt{39}$, $AD = 7$

(ii) $DE = \frac{10}{7}$