曲線 $C$ が媒介変数表示 $x = -\cos t, y = 3\sin t$ ($0 \le t \le \pi$) で与えられているとき、この曲線と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $C$ が媒介変数表示 $x = -\cos t, y = 3\sin t$ ($0 \le t \le \pi$) で与えられているとき、この曲線と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

媒介変数表示された曲線と $x$ 軸で囲まれた部分の面積は、以下の式で計算できます。

$S = \int_{x_1}^{x_2} y \, dx = \int_{t_1}^{t_2} y(t) \frac{dx}{dt} dt$

ここで、$x_1$ および $x_2$ は $x$ の積分範囲、$t_1$ および $t_2$ は $t$ の積分範囲です。

$x = -\cos t$ なので、$\frac{dx}{dt} = \sin t$ となります。

$y = 3\sin t$ です。

$0 \le t \le \pi$ であり、$y=0$となるのは、$t = 0$ と $t = \pi$ のときです。

$t=0$のとき、$x = -\cos 0 = -1$ です。

$t=\pi$のとき、$x = -\cos \pi = -(-1) = 1$ です。

したがって、積分範囲は、$t=0$ から $t=\pi$ までで、面積 $S$ は

$S = \int_{0}^{\pi} (3\sin t)(\sin t) dt = 3 \int_{0}^{\pi} \sin^2 t \, dt$

$\sin^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}$ なので、

$S = 3 \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos 2t}{2} dt = \frac{3}{2} \int_{0}^{\pi} (1 - \cos 2t) dt$

$S = \frac{3}{2} \left[ t - \frac{1}{2} \sin 2t \right]_{0}^{\pi} = \frac{3}{2} \left[ (\pi - \frac{1}{2} \sin 2\pi) - (0 - \frac{1}{2} \sin 0) \right]$

$S = \frac{3}{2} \left[ \pi - 0 - 0 + 0 \right] = \frac{3}{2} \pi$

3. 最終的な答え

$S = \frac{3}{2}\pi$