$0 \le x \le 2\pi$において、2つの曲線$y = \sin x$と$y = \cos x$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ。

1. 問題の内容

$0 \le x \le 2\pi$において、2つの曲線$y = \sin x$と$y = \cos x$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、2つの曲線の交点を求めます。

$\sin x = \cos x$となる$x$を求めます。

$\tan x = 1$となる$x$を考えると、$x = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$が解となります。

次に、区間$[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}]$で$\sin x$と$\cos x$のどちらが大きいかを調べます。例えば、$x = \pi$を代入すると、$\sin \pi = 0$、$\cos \pi = -1$なので、$\sin x \ge \cos x$です。

したがって、面積$S$は次のように計算できます。

$S = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} (\sin x - \cos x) dx$

$= [-\cos x - \sin x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}$

$= \left(-\cos \frac{5\pi}{4} - \sin \frac{5\pi}{4}\right) - \left(-\cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{4}\right)$

$= \left(-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right) - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

$= \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

$= \sqrt{2} - (-\sqrt{2})$

$= 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$S = 2\sqrt{2}$