(1) 曲線 $y=\sqrt{x}$ と直線 $y=2$, $y$軸に囲まれた部分を$y$軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積 $V$ を求めよ。 (2) 曲線 $C: \begin{cases} x=3\cos t \\ y=3\sin t \end{cases} (0 \le t \le 2\pi)$ の長さ $L$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 曲線 $y=\sqrt{x}$ と直線 $y=2$, $y$軸に囲まれた部分を$y$軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積 $V$ を求めよ。

(2) 曲線 $C: \begin{cases} x=3\cos t \\ y=3\sin t \end{cases} (0 \le t \le 2\pi)$ の長さ $L$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $y = \sqrt{x}$ より $x = y^2$である。$y$軸周りの回転体の体積は

$V = \pi \int_0^2 (y^2)^2 dy = \pi \int_0^2 y^4 dy = \pi \left[ \frac{1}{5}y^5 \right]_0^2 = \pi \frac{32}{5} = \frac{32}{5}\pi$

(2) $x'(t) = -3\sin t$, $y'(t) = 3\cos t$ より

$L = \int_0^{2\pi} \sqrt{(-3\sin t)^2 + (3\cos t)^2} dt = \int_0^{2\pi} \sqrt{9\sin^2 t + 9\cos^2 t} dt$

$= \int_0^{2\pi} \sqrt{9(\sin^2 t + \cos^2 t)} dt = \int_0^{2\pi} \sqrt{9} dt = \int_0^{2\pi} 3 dt = 3[t]_0^{2\pi} = 3(2\pi - 0) = 6\pi$

3. 最終的な答え

(1) $V = \frac{32}{5}\pi$

(2) $L = 6\pi$