全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$、部分集合 $A = \{1, 2, 3\}$、 $B = \{3, 6\}$ が与えられたとき、以下の集合を求めます。 (1) $\overline{B}$ (2) $\overline{A} \cap B$ (3) $A \cap \overline{B}$ (4) $\overline{A} \cup \overline{B}$ (5) $\overline{A \cap B}$ (6) $A \cap \overline{B}$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$、部分集合 $A = \{1, 2, 3\}$、 $B = \{3, 6\}$ が与えられたとき、以下の集合を求めます。

(1) $\overline{B}$

(2) $\overline{A} \cap B$

(3) $A \cap \overline{B}$

(4) $\overline{A} \cup \overline{B}$

(5) $\overline{A \cap B}$

(6) $A \cap \overline{B}$

2. 解き方の手順

(1) $\overline{B}$ を求めます。$\overline{B}$ は全体集合 $U$ から $B$ の要素を取り除いたものです。

$\overline{B} = U - B = \{1, 2, 4, 5\}$

(2) $\overline{A} \cap B$ を求めます。$\overline{A}$ は全体集合 $U$ から $A$ の要素を取り除いたものです。

$\overline{A} = U - A = \{4, 5, 6\}$

$\overline{A} \cap B = \{4, 5, 6\} \cap \{3, 6\} = \{6\}$

(3) $A \cap \overline{B}$ を求めます。$\overline{B} = \{1, 2, 4, 5\}$ (上記(1)より)

$A \cap \overline{B} = \{1, 2, 3\} \cap \{1, 2, 4, 5\} = \{1, 2\}$

(4) $\overline{A} \cup \overline{B}$ を求めます。$\overline{A} = \{4, 5, 6\}$ (上記(2)より)、$\overline{B} = \{1, 2, 4, 5\}$ (上記(1)より)

$\overline{A} \cup \overline{B} = \{4, 5, 6\} \cup \{1, 2, 4, 5\} = \{1, 2, 4, 5, 6\}$

(5) $\overline{A \cap B}$ を求めます。まず $A \cap B$ を計算します。

$A \cap B = \{1, 2, 3\} \cap \{3, 6\} = \{3\}$

$\overline{A \cap B} = U - (A \cap B) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} - \{3\} = \{1, 2, 4, 5, 6\}$

(6) $A \cap \overline{B}$ を求めます。これは(3)と同じです。

$A \cap \overline{B} = \{1, 2\}$

3. 最終的な答え

(1) $\overline{B} = \{1, 2, 4, 5\}$

(2) $\overline{A} \cap B = \{6\}$

(3) $A \cap \overline{B} = \{1, 2\}$

(4) $\overline{A} \cup \overline{B} = \{1, 2, 4, 5, 6\}$

(5) $\overline{A \cap B} = \{1, 2, 4, 5, 6\}$

(6) $A \cap \overline{B} = \{1, 2\}$