袋の中に赤玉が3個、白玉が4個入っている。この袋から同時に3個の玉を取り出すとき、赤玉と白玉の両方が含まれている確率を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉が3個、白玉が4個入っている。この袋から同時に3個の玉を取り出すとき、赤玉と白玉の両方が含まれている確率を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、3個の玉の取り出し方の総数を計算します。

これは、7個の玉の中から3個を選ぶ組み合わせなので、${}_7 C_3$ で計算できます。

${}_7 C_3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

次に、赤玉と白玉の両方が含まれない場合を考えます。

これは、3個とも赤玉の場合と、3個とも白玉の場合です。

3個とも赤玉の場合は、赤玉3個から3個を選ぶので、${}_3 C_3 = 1$ 通りです。

3個とも白玉の場合は、白玉4個から3個を選ぶので、${}_4 C_3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = 4$ 通りです。

したがって、赤玉と白玉の両方が含まれない場合は、1 + 4 = 5 通りです。

よって、赤玉と白玉の両方が含まれる場合は、全体の取り出し方から両方が含まれない場合を引いた数になります。

35 - 5 = 30 通り

求める確率は、赤玉と白玉の両方が含まれる場合の数を、全体の取り出し方で割ったものです。

$\frac{30}{35} = \frac{6}{7}$

3. 最終的な答え

$\frac{6}{7}$