$\triangle ABC$において、$\sin A : \sin B : \sin C = 3:5:7$ が成り立つとき、$\triangle ABC$の内角のうち、最も大きい角の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$において、$\sin A : \sin B : \sin C = 3:5:7$ が成り立つとき、$\triangle ABC$の内角のうち、最も大きい角の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

正弦定理より、$a:b:c = \sin A : \sin B : \sin C$であるから、$a:b:c = 3:5:7$となる。

したがって、$a=3k, b=5k, c=7k$（$k$は正の定数）とおける。

最も大きい角は、$c$の対角である$C$である。余弦定理より、

$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

$a=3k, b=5k, c=7k$を代入すると、

$\cos C = \frac{(3k)^2 + (5k)^2 - (7k)^2}{2(3k)(5k)} = \frac{9k^2 + 25k^2 - 49k^2}{30k^2} = \frac{-15k^2}{30k^2} = -\frac{1}{2}$

よって、$C = 120^\circ$

3. 最終的な答え

$120^\circ$