関数 $f(x) = 4^x - 3 \cdot 2^{x-2}$ が与えられている。 (1) $2^x = t$ とおくとき、$f(x)$ を $t$ を用いて表せ。 (2) $x \leqq -1$ の範囲を動くとき、$f(x)$ のとり得る値の範囲を求めよ。 (3) $a$ を定数とする。$a \leqq x \leqq a+1$ において $f(x)$ は $x = a+1$ で最大となり、さらに最大値が 13 以下であるような $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 4^x - 3 \cdot 2^{x-2}$ が与えられている。

(1) $2^x = t$ とおくとき、$f(x)$ を $t$ を用いて表せ。

(2) $x \leqq -1$ の範囲を動くとき、$f(x)$ のとり得る値の範囲を求めよ。

(3) $a$ を定数とする。$a \leqq x \leqq a+1$ において $f(x)$ は $x = a+1$ で最大となり、さらに最大値が 13 以下であるような $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $2^x = t$ とおくとき、$4^x = (2^x)^2 = t^2$ であり、$2^{x-2} = 2^x \cdot 2^{-2} = \frac{1}{4} 2^x = \frac{1}{4} t$ である。したがって、

$f(x) = t^2 - 3 \cdot \frac{1}{4} t = t^2 - \frac{3}{4} t$ となる。

(2) $x \leqq -1$ のとき、$2^x \leqq 2^{-1} = \frac{1}{2}$ であるから、$t \leqq \frac{1}{2}$ である。また、$t = 2^x > 0$ であるから、$0 < t \leqq \frac{1}{2}$ である。

$f(x) = t^2 - \frac{3}{4} t = \left( t - \frac{3}{8} \right)^2 - \frac{9}{64}$ と変形できる。

$t = \frac{3}{8}$ は $0 < t \leqq \frac{1}{2}$ の範囲に含まれるので、$t = \frac{3}{8}$ のとき最小値 $-\frac{9}{64}$ をとる。

$t = \frac{1}{2}$ のとき、$f(x) = \left( \frac{1}{2} \right)^2 - \frac{3}{4} \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{4} - \frac{3}{8} = -\frac{1}{8}$ である。

$t \to 0$ のとき $f(x) \to 0$ である。

したがって、$x \leqq -1$ の範囲で $f(x)$ のとり得る値の範囲は $-\frac{9}{64} \leqq f(x) < 0$ である。

(3) $f(x)$ は $x = a+1$ で最大となるので、$a \leqq x \leqq a+1$ において $x=a+1$ で最大となるための条件は、軸 $x = \frac{3}{8}$ より $a+1 \leq \frac{3}{8}$ でないことである。すなわち、$a \leq x \leq a+1$ の範囲に $t=\frac{3}{8}$ が含まれない、すなわち $a+1 \leq \frac{3}{8}$ または $\frac{3}{8} \leq a$ であることが条件である。

このとき、$a \leqq x \leqq a+1$ において $f(x)$ は $x=a+1$ で最大値をとる。したがって、$f(a+1) \leqq 13$ を満たす $a$ の範囲を求めればよい。

$f(a+1) = 4^{a+1} - 3 \cdot 2^{a+1-2} = 4^{a+1} - 3 \cdot 2^{a-1} = 4 \cdot 4^a - \frac{3}{2} \cdot 2^a \leqq 13$

$2^a = X$ とおくと、$4 X^2 - \frac{3}{2} X \leqq 13$

$8 X^2 - 3 X - 26 \leqq 0$

$(X-2)(8X+13) \leqq 0$

$-\frac{13}{8} \leqq X \leqq 2$

$X = 2^a > 0$ より、$0 < X \leqq 2$ であるから、$2^a \leqq 2$ となり、$a \leqq 1$ となる。

$a+1 \le \frac{3}{8}$ または $\frac{3}{8} \le 2^{a}$ であることが条件である。

前者の場合、$a \le -\frac{5}{8}$ であり、$a \le 1$ を満たす。

後者の場合、$2^a \ge \frac{3}{8}$ であるから、$a \ge \log_2 \frac{3}{8} = \log_2 3 - 3 \approx 1.585 - 3 = -1.415$ であり、$a \le 1$ を満たす。

$a \leqq 1$ が答え。

3. 最終的な答え

$a \leqq -\frac{5}{8}$ または $\log_2 \frac{3}{8} \leq a \leqq 1$