円の外部の点Pから円に引いた2本の直線に関して、$x$ の値を求める問題。図から $PC = 4$, $CD = 5$, $PA = x$, $AB = 9$ であることがわかる。

1. 問題の内容

円の外部の点Pから円に引いた2本の直線に関して、$x$ の値を求める問題。図から $PC = 4$, $CD = 5$, $PA = x$, $AB = 9$ であることがわかる。

2. 解き方の手順

方べきの定理を用いる。点Pから円に引いた直線が円と点C, Dおよび点A, Bで交わるとき、

$PC \cdot PD = PA \cdot PB$

が成り立つ。

ここで、$PC = 4$, $CD = 5$, $PA = x$, $AB = 9$ であるから、$PD = PC + CD = 4 + 5 = 9$、$PB = PA + AB = x + 9$ となる。

したがって、方べきの定理の式は

$4 \cdot 9 = x \cdot (x+9)$

となる。これを解くと

$36 = x^2 + 9x$

$x^2 + 9x - 36 = 0$

$(x + 12)(x - 3) = 0$

$x = -12, 3$

$x$ は線分の長さなので、$x>0$ である。よって、$x = 3$ となる。

3. 最終的な答え

$x = 3$