底面の半径が2cm、母線の長さが6cmの直円錐がある。ABは底面の直径であり、Cは母線OAの中点である。 (1) この直円錐の高さを求める。 (2) この直円錐の体積を求める。 (3) この円錐を点Cを通り底面と平行な平面で切り取り、円錐部分を取り除いてできる立体の体積を求める。

1. 問題の内容

底面の半径が2cm、母線の長さが6cmの直円錐がある。ABは底面の直径であり、Cは母線OAの中点である。

(1) この直円錐の高さを求める。

(2) この直円錐の体積を求める。

(3) この円錐を点Cを通り底面と平行な平面で切り取り、円錐部分を取り除いてできる立体の体積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 高さ

直円錐の高さを$h$とする。直角三角形OABについてピタゴラスの定理を用いる。$OA = 6, AB/2=2$より、

$h^2 + 2^2 = 6^2$

$h^2 + 4 = 36$

$h^2 = 32$

$h = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

(2) 体積

直円錐の体積$V$は、$V = (1/3) \pi r^2 h$で求められる。$r=2, h=4\sqrt{2}$なので、

$V = (1/3) \pi (2^2) (4\sqrt{2})$

$V = (1/3) \pi (4)(4\sqrt{2})$

$V = (16\sqrt{2}/3)\pi$

(3) 立体の体積

点Cを通り底面と平行な平面で切った円錐の、母線の長さは$6/2 = 3$ cm、半径は$2/2 = 1$ cmとなる。

この円錐の高さ$h_1$は、$h_1^2 + 1^2 = 3^2$より、$h_1^2 = 8$, $h_1 = 2\sqrt{2}$となる。

この円錐の体積$V_1$は、$V_1 = (1/3)\pi(1^2)(2\sqrt{2}) = (2\sqrt{2}/3)\pi$

求める立体の体積は、$V - V_1$なので、

$(16\sqrt{2}/3)\pi - (2\sqrt{2}/3)\pi = (14\sqrt{2}/3)\pi$

3. 最終的な答え

(1) 高さ: $4\sqrt{2}$ cm

(2) 体積: $\frac{16\sqrt{2}}{3}\pi$ cm$^3$

(3) 立体の体積: $\frac{14\sqrt{2}}{3}\pi$ cm$^3$