四角形ABCDがあり、辺ADとBCを延長した交点をEとする。BC = 16cm、DA = 12cm、CE = DE = 4cm、三角形EDCの面積は6cm^2である。 (1)三角形ACDの面積を求めよ。 (2)点Dを通り、対角線ACに平行な直線と線分BEとの交点をFとするとき、線分CFの長さを求めよ。 (3)四角形ABCDの面積を求めよ。

1. 問題の内容

四角形ABCDがあり、辺ADとBCを延長した交点をEとする。BC = 16cm、DA = 12cm、CE = DE = 4cm、三角形EDCの面積は6cm^2である。

(1)三角形ACDの面積を求めよ。

(2)点Dを通り、対角線ACに平行な直線と線分BEとの交点をFとするとき、線分CFの長さを求めよ。

(3)四角形ABCDの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)三角形ACDの面積を求める。

三角形EDCと三角形EABは相似である。なぜならば、$\angle E$が共通で、$\angle EDC = \angle EAB$、$\angle ECD = \angle EBA$が成り立つからである。

相似比は、$DE:AE = CE:BE = 4 : (12+4) = 4:16 = 1:4$

したがって、面積比は$1^2 : 4^2 = 1:16$

三角形EDCの面積は6cm^2なので、三角形EABの面積は$6 \times 16 = 96$ cm^2。

三角形EACの面積は、三角形EABの面積 - 三角形EBCの面積 = 96 - 三角形EBCの面積

三角形EBCの面積は、$\frac{BC}{CE} \times 三角形EDCの面積 = \frac{16}{4} \times 6 = 4 \times 6 = 24$ cm^2

三角形EACの面積は、$24 \times \frac{4}{16} = 6 cm^2$

三角形EADの面積は、三角形EABの面積 - 三角形ADBの面積 = 96 - 三角形ADBの面積

三角形EADの面積は、$\frac{AD}{DE} \times 三角形EDCの面積 = \frac{12}{4} \times 6 = 3 \times 6 = 18$ cm^2

三角形ACDの面積は、三角形EADの面積 - 三角形EDCの面積 = $18 - 6 = 12$ cm^2

(2)線分CFの長さを求める。

点Dを通りACに平行な直線とBEの交点をFとする。三角形ACFと三角形ADFの面積は等しい。よって四角形ACDFの面積は、三角形ACD + 三角形ADF。

DF//ACより、三角形ACFと三角形ADFの面積が等しいので、四角形ACDFの面積は三角形ACDの面積と三角形ACFの面積を足し合わせた値となる。

ここで、三角形ACDの面積は12cm^2である。

DF//ACより、$\angle DAC = \angle ADF$。錯角は等しい。

また、$\angle ACB = \angle DFB$

四角形ACDFの面積は、三角形ACDの面積 + 三角形ACFの面積。

四角形ABCDの面積は、三角形ABC + 三角形ACD。

$DE=4cm, CE=4cm, DA=12cm, BC=16cm$

$\frac{CF}{BF} = \frac{CE}{BC} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

$CF : BC = 1 : 5$

$CF = \frac{1}{5} BC = \frac{1}{5} \times 16 = 3.2 cm$

(3)四角形ABCDの面積を求める。

三角形ABCの面積は、$\frac{BC}{CE} \times 三角形ACE = \frac{16}{4} \times (6+12) = 4 \times 18 = 72$ cm^2

四角形ABCDの面積は、三角形ABCの面積 + 三角形ACDの面積 = $72 + 12 = 84$ cm^2

3. 最終的な答え

(1)三角形ACDの面積: 12 cm^2

(2)線分CFの長さ: 3.2 cm

(3)四角形ABCDの面積: 84 cm^2