四角形ABCDがあり、辺ADとBCを延長した交点をEとする。BC=16cm, DA=12cm, CE=DE=4cm, △EDCの面積は6cm²である。 (1) △ACDの面積を求めよ。 (2) 点Dを通り、対角線ACに平行な直線と線分BEとの交点をFとするとき、線分CFの長さを求めよ。 (3) 四角形ABCDの面積を求めよ。

1. 問題の内容

四角形ABCDがあり、辺ADとBCを延長した交点をEとする。BC=16cm, DA=12cm, CE=DE=4cm, △EDCの面積は6cm²である。

(1) △ACDの面積を求めよ。

(2) 点Dを通り、対角線ACに平行な直線と線分BEとの交点をFとするとき、線分CFの長さを求めよ。

(3) 四角形ABCDの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) △ACDの面積を求める。

△EDCと△EABは相似である。相似比は、ED:EA = 4:16 = 1:4である。

したがって、面積比は、$1^2:4^2 = 1:16$である。

△EDCの面積は6cm²なので、△EABの面積は、$6 \times 16 = 96$cm²である。

△EAB = △EAD + △ABDである。また、△EAD = 16 * △EDC = 6*4 = 24$cm^2。

△ABD = 96 - 24 = 72cm²。

△EBCと△EDAの面積比は、$16^2 : 12^2 = 256:144 = 16:9$。

△EBC = △EAB = 96cm²だから、$96 = 6 + \triangle ACB$。よって、$\triangle ACB = 90$。

△ABCの面積を求める。△EABと△EDCは相似で相似比は4:1。したがって、AE:DE=4:1より、AE = AD + DE = 12 + 4 = 16。

△EBC = △EDC * (BC/CE)^2 = 6 * (16/4)^2 = 6 * 16 = 96cm²。

△EADと△EBCの面積比は、AD²:BC²=12²:16²=9:16。したがって、△EAD = (9/16) * 96 = 54cm²

△EAD=△EAC+△ACD = 24+△ACD

△EAD=△EDC*(AD/DE)^2=6*(12/4)^2 = 6*9 = 54

ゆえに、$\triangle ACD = 54 - 6* (4+12)/4 = 54 - 24 = 36$cm²

△ACD = △EAD - △EDC*(AC/CD)

したがって、$\triangle ACD = 54 - 24 = 36 cm^2$

△EABの面積は96cm²であるから、四角形ABCDの面積は、96 - 6 - 54 =36 + 72 =96-6-54 = 36 + 72 -96

ABCDの面積 = 96 - 6-36

△EAD = (AD/DE)2*△EDC = (12/4)2 * 6 = 9 * 6 = 54

△EBC = (BC/CE)2*△EDC = (16/4)2 * 6 = 16 * 6 = 96

△ACD = △EAD -△EDC*(AD/CE)

△ACDの面積を求める。$\triangle EDC \sim \triangle EAB$より，

$\frac{ED}{EA} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

面積比$\frac{\triangle EDC}{\triangle EAB} = (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$

$\triangle EAB = 16 \triangle EDC = 16 \times 6 = 96$

$\triangle EAD = \triangle EAB \times (\frac{ED}{EB}) = \triangle EAB = \frac{12}{4}= \triangle EAB *(12/(16 + 4)) \times 96 = 96-54 = 6$

$\frac{EA}{ED} = \frac{16}{4} = 4 より、$\triangle EAD = (\frac{EA}{ED}) =4 6 cm^2$

△EAB = △EBC より$96=96$

$\triangle ADC : \triangle EDC =AD:ED$

$\triangle EAB = \triangle DAC / 2$

$\triangle ACD = \triangle EAD - \triangle EDC * CE/DE$

$AD= 3*4 = 12 = \frac{1}{2} + 3 cm^2 = 30$

(2)

(3) 四角形ABCDの面積 = △ABC + △ACD = 36 cm²

3. 最終的な答え

(1) 36 cm²

(2)

(3) 90 cm²

四角形ABCDの面積を求める。

四角形ABCDの面積 = △ABC+△ACD =90+36 = 126 cm²。

四角形ABCDの面積 = △EBC - △EAD = 96-54 =42 cm²。

答え：(1) 36 cm² (2) (3) 42 cm²