三角形ABCにおいて、$\frac{5}{\sin A} = \frac{4}{\sin B} = \frac{7}{\sin C}$ が成り立つとき、$\cos C$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\frac{5}{\sin A} = \frac{4}{\sin B} = \frac{7}{\sin C}$ が成り立つとき、$\cos C$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

正弦定理より、$a:b:c = \sin A : \sin B : \sin C$ が成り立ちます。

したがって、$\frac{5}{\sin A} = \frac{4}{\sin B} = \frac{7}{\sin C}$ より、

$\sin A = \frac{5}{k}, \sin B = \frac{4}{k}, \sin C = \frac{7}{k}$とおくと、

$a:b:c = \sin A : \sin B : \sin C = \frac{5}{k} : \frac{4}{k} : \frac{7}{k} = 5:4:7$となります。

したがって、$a=5l, b=4l, c=7l$ (lは正の定数)とおくことができます。

余弦定理より、

$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac{(5l)^2 + (4l)^2 - (7l)^2}{2(5l)(4l)} = \frac{25l^2 + 16l^2 - 49l^2}{40l^2} = \frac{-8l^2}{40l^2} = -\frac{1}{5}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{5}$