全体集合$U$を1以上100以下の整数全体の集合とし、$U$の部分集合$A$, $B$, $C$をそれぞれ2の倍数、3の倍数、5の倍数の集合とします。このとき、集合$A \cup B \cup C$の要素の個数を求めます。

1. 問題の内容

全体集合$U$を1以上100以下の整数全体の集合とし、$U$の部分集合$A$, $B$, $C$をそれぞれ2の倍数、3の倍数、5の倍数の集合とします。このとき、集合$A \cup B \cup C$の要素の個数を求めます。

2. 解き方の手順

集合の要素の個数を $| \cdot |$ で表すことにします。

包除原理より、

$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |B \cap C| - |C \cap A| + |A \cap B \cap C|$

ここで、

$|A|$は100以下の2の倍数の個数なので、 $|A| = \lfloor \frac{100}{2} \rfloor = 50$

$|B|$は100以下の3の倍数の個数なので、 $|B| = \lfloor \frac{100}{3} \rfloor = 33$

$|C|$は100以下の5の倍数の個数なので、 $|C| = \lfloor \frac{100}{5} \rfloor = 20$

$A \cap B$ は2の倍数かつ3の倍数なので、6の倍数です。 $|A \cap B| = \lfloor \frac{100}{6} \rfloor = 16$

$B \cap C$ は3の倍数かつ5の倍数なので、15の倍数です。 $|B \cap C| = \lfloor \frac{100}{15} \rfloor = 6$

$C \cap A$ は5の倍数かつ2の倍数なので、10の倍数です。 $|C \cap A| = \lfloor \frac{100}{10} \rfloor = 10$

$A \cap B \cap C$ は2の倍数かつ3の倍数かつ5の倍数なので、30の倍数です。 $|A \cap B \cap C| = \lfloor \frac{100}{30} \rfloor = 3$

よって、

$|A \cup B \cup C| = 50 + 33 + 20 - 16 - 6 - 10 + 3 = 74$

3. 最終的な答え

74