与えられた論理式 $f = ABCD + A\overline{B}D + \overline{A}BD + \overline{A}\overline{B}CD + B\overline{C}D$ を簡略化する。

1. 問題の内容

与えられた論理式 $f = ABCD + A\overline{B}D + \overline{A}BD + \overline{A}\overline{B}CD + B\overline{C}D$ を簡略化する。

2. 解き方の手順

与えられた論理式に対して、ブール代数の法則を用いて簡略化を行う。

まず、$A\overline{B}D + \overline{A}\overline{B}CD$ の項を考える。

$A\overline{B}D + \overline{A}\overline{B}CD = \overline{B}D(A + \overline{A}C)$

ここで、$A + \overline{A}C = A + C$ であるから、

$\overline{B}D(A + C) = A\overline{B}D + \overline{B}CD$

次に、式全体を書き換える。

$f = ABCD + A\overline{B}D + \overline{A}BD + \overline{A}\overline{B}CD + B\overline{C}D$

$f = ABCD + A\overline{B}D + \overline{A}BD + \overline{B}CD + B\overline{C}D$

$f = ABCD + A\overline{B}D + B\overline{C}D + \overline{A}BD + \overline{B}CD$

ここで、 $A\overline{B}D + B\overline{C}D$ の項は、うまくまとめることができない。

次に、$A\overline{B}D + \overline{A}BD = (\overline{B}A + \overline{A}B)D$

このことから、$A\overline{B}D + \overline{A}BD = (A \oplus B)D$ となる。

元の式に戻って考える。

$f = ABCD + A\overline{B}D + \overline{A}BD + \overline{A}\overline{B}CD + B\overline{C}D$

$f = ABCD + (A\overline{B} + \overline{A}B)D + \overline{A}\overline{B}CD + B\overline{C}D$

$f = ABCD + (A \oplus B)D + \overline{A}\overline{B}CD + B\overline{C}D$

$ABCD + \overline{A}\overline{B}CD = CD(AB + \overline{A}\overline{B})$

ここで、$AB + \overline{A}\overline{B}$ は簡略化できない。

したがって、これ以上まとめることは難しそうである。

再度、式を注意深く見てみると、$ABCD$, $A\overline{B}D$, $\overline{A}BD$, $B\overline{C}D$ の項に着目できる。

$ABCD + A\overline{B}D + \overline{A}BD + B\overline{C}D = AD(BC + \overline{B}) + \overline{A}BD + B\overline{C}D = AD(C + \overline{B}) + \overline{A}\overline{B}CD + B\overline{C}D = AD(\overline{B} + C) + \overline{A}\overline{B}CD + B\overline{C}D$

$f = A\overline{B}D + ACD + \overline{A}\overline{B}CD + \overline{A}BD + B\overline{C}D$

$f = A\overline{B}D + ACD + \overline{A}\overline{B}CD + \overline{A}BD + B\overline{C}D$

組み合わせの数が多すぎるため、カルノー図が有効だと思われるが、ここでは省略する。

$AD + B\overline{C}D + \overline{A}\overline{B}CD = AD + B\overline{C}D + CD(\overline{A}\overline{B})$

3. 最終的な答え

$ABCD + A\overline{B}D + \overline{A}BD + \overline{A}\overline{B}CD + B\overline{C}D$ の簡略化された形は、$A\overline{B}D + \overline{A}BD + ABCD + \overline{A}\overline{B}CD + B\overline{C}D$ である。

これ以上、ブール代数の基本的な法則のみでは簡略化は難しいと考えられるため、

$f = ABCD + A\overline{B}D + \overline{A}BD + \overline{A}\overline{B}CD + B\overline{C}D$ を最終的な答えとする。

したがって、

$f = ABCD + A\overline{B}D + \overline{A}BD + \overline{A}\overline{B}CD + B\overline{C}D$