直角三角形ABCがあり、$AB=6$, $AC=3\sqrt{3}$, $\angle BAC=90^\circ$である。斜辺BC上に点Dを$\angle BAD=60^\circ$となるようにとる。 (1) 辺ADの長さを求めよ。 (2) 辺CDの長さを求めよ。

1. 問題の内容

直角三角形ABCがあり、$AB=6$, $AC=3\sqrt{3}$, $\angle BAC=90^\circ$である。斜辺BC上に点Dを$\angle BAD=60^\circ$となるようにとる。

(1) 辺ADの長さを求めよ。

(2) 辺CDの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

三角形ABCの面積を$S_{ABC}$とする。同様に、三角形ABDと三角形ACDの面積を$S_{ABD}$と$S_{ACD}$とする。

$S_{ABC} = S_{ABD} + S_{ACD}$が成り立つ。

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 6 \times 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$

$S_{ABD} = \frac{1}{2} \times AB \times AD \times \sin{60^\circ} = \frac{1}{2} \times 6 \times AD \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} AD$

$S_{ACD} = \frac{1}{2} \times AC \times AD \times \sin{30^\circ} = \frac{1}{2} \times 3\sqrt{3} \times AD \times \frac{1}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4} AD$

したがって、

$9\sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2}AD + \frac{3\sqrt{3}}{4}AD$

$9\sqrt{3} = \frac{6\sqrt{3}}{4}AD + \frac{3\sqrt{3}}{4}AD = \frac{9\sqrt{3}}{4}AD$

$AD = \frac{9\sqrt{3}}{\frac{9\sqrt{3}}{4}} = 4$

(2)

余弦定理より、$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 6^2 + (3\sqrt{3})^2 = 36 + 27 = 63$. よって、$BC = \sqrt{63} = 3\sqrt{7}$.

余弦定理を三角形ABDに適用すると、$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \times AB \times AD \times \cos{60^\circ} = 6^2 + 4^2 - 2 \times 6 \times 4 \times \frac{1}{2} = 36 + 16 - 24 = 28$. よって、$BD = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$.

$CD = BC - BD = 3\sqrt{7} - 2\sqrt{7} = \sqrt{7}$

3. 最終的な答え

(1) AD = 4

(2) CD = $\sqrt{7}$