## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

問題1.3では、以下の(1)(2)(3)で定義される領域 $D_1$, $D_3$, $D_5$ の面積を求めます。

(1) $D_1 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | 0 \leq x \leq 10, 0 \leq y \leq x^2\}$

(2) $D_3 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 3x^2\}$

(3) $D_5 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | 0 \leq x \leq N, 0 \leq y \leq ax^2\}, (a \geq 0)$

問題1.4では、$r$ を自然数として、領域 $D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq x^r\}$ の面積を、自然数の $r$ 乗和 $\sum_{k=1}^{n} k^r$ を含む極限値の式で表します。

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2. 解き方の手順

### 問題1.3

領域の面積は二重積分で求めることができますが、ここでは簡単な積分で計算します。

(1) $D_1$ の面積は、$\int_{0}^{10} x^2 dx$ で計算できます。

(2) $D_3$ の面積は、$\int_{0}^{1} 3x^2 dx$ で計算できます。

(3) $D_5$ の面積は、$\int_{0}^{N} ax^2 dx$ で計算できます。

### 問題1.4

領域 $D$ を分割して面積を求め、極限の形で表現します。区間 $[0,1]$ を $n$ 等分し、$x_k = \frac{k}{n}$ とします。各区間 $[x_{k-1}, x_k]$ 上で、長方形の高さ $y_k = x_k^r = (\frac{k}{n})^r$ を考えます。

このとき、長方形の面積は $\frac{1}{n} (\frac{k}{n})^r = \frac{k^r}{n^{r+1}}$ となります。

したがって、面積 $S$ は以下のように近似できます。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k^r}{n^{r+1}} = \frac{1}{n^{r+1}} \sum_{k=1}^{n} k^r$

$n \to \infty$ の極限をとると、面積 $S$ が求まります。

$S = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{r+1}} \sum_{k=1}^{n} k^r$

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3. 最終的な答え

### 問題1.3

(1) $D_1$ の面積:

$\int_{0}^{10} x^2 dx = [\frac{1}{3}x^3]_0^{10} = \frac{1000}{3}$

(2) $D_3$ の面積:

$\int_{0}^{1} 3x^2 dx = [x^3]_0^{1} = 1$

(3) $D_5$ の面積:

$\int_{0}^{N} ax^2 dx = [\frac{a}{3}x^3]_0^{N} = \frac{aN^3}{3}$

### 問題1.4

$D$ の面積:

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{r+1}} \sum_{k=1}^{n} k^r$