$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式・不等式を解きます。 (1) $\sin\theta + \cos\theta = 1$ (2) $\sin\theta - \sqrt{3}\cos\theta \le 1$

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式・不等式を解きます。

(1) $\sin\theta + \cos\theta = 1$

(2) $\sin\theta - \sqrt{3}\cos\theta \le 1$

2. 解き方の手順

(1) $\sin\theta + \cos\theta = 1$

両辺を2乗すると、

$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1^2$

$\sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1$

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ なので、

$1 + 2\sin\theta\cos\theta = 1$

$2\sin\theta\cos\theta = 0$

$\sin(2\theta) = 0$

$0 \le \theta < 2\pi$ より $0 \le 2\theta < 4\pi$ であるから、

$2\theta = 0, \pi, 2\pi, 3\pi$

$\theta = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}$

ここで、2乗したので吟味が必要。

$\theta = 0$ のとき $\sin 0 + \cos 0 = 0 + 1 = 1$

$\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき $\sin \frac{\pi}{2} + \cos \frac{\pi}{2} = 1 + 0 = 1$

$\theta = \pi$ のとき $\sin \pi + \cos \pi = 0 + (-1) = -1 \ne 1$

$\theta = \frac{3\pi}{2}$ のとき $\sin \frac{3\pi}{2} + \cos \frac{3\pi}{2} = -1 + 0 = -1 \ne 1$

したがって、 $\theta = 0, \frac{\pi}{2}$

(2) $\sin\theta - \sqrt{3}\cos\theta \le 1$

三角関数の合成を行う。

$r = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

$\sin(\theta + \alpha) = \sin\theta \cos\alpha + \cos\theta \sin\alpha$ で、

$\cos\alpha = \frac{1}{2}$, $\sin\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\alpha$ は $\alpha = -\frac{\pi}{3}$

よって、$\sin\theta - \sqrt{3}\cos\theta = 2\sin(\theta - \frac{\pi}{3})$

したがって、$2\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) \le 1$

$\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) \le \frac{1}{2}$

$0 \le \theta < 2\pi$ より $-\frac{\pi}{3} \le \theta - \frac{\pi}{3} < 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$

$\sin x \le \frac{1}{2}$ となる範囲は $x$ の単位円を考えると、

$-\frac{7\pi}{6} \le x \le \frac{\pi}{6}$ または $\frac{5\pi}{6} \le x \le \frac{17\pi}{6}$

$-\frac{\pi}{3} \le \theta - \frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{6}$ の場合、 $-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} \le \theta \le \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi + 2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$

$\frac{5\pi}{6} \le \theta - \frac{\pi}{3} < \frac{5\pi}{3}$ の場合、 $\frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{3} \le \theta < \frac{5\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{6\pi}{3} = 2\pi$

$\frac{5\pi + 2\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} \le \theta < 2\pi$

したがって、 $\theta \le \frac{\pi}{2}$ または $\frac{7\pi}{6} \le \theta < 2\pi$

最終的に $\theta$ の範囲は $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{6} \le \theta < 2\pi$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = 0, \frac{\pi}{2}$

(2) $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{6} \le \theta < 2\pi$