正の定数 $a$ が与えられ、座標平面上に2つの円 $C_1: x^2 + y^2 - 2ax - 3a^2 = 0$ と $C_2: x^2 + y^2 - 2x + 4y + 4 = 0$ が存在する。 (1) 円 $C_1$ の中心の座標と半径を $a$ を用いて表す。 (2) 円 $C_1$ と円 $C_2$ の中心間の距離を $d$ とする。$d^2$ を $a$ を用いて表す。 (3) 円 $C_1$ と円 $C_2$ が異なる2点で交わるような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

正の定数 $a$ が与えられ、座標平面上に2つの円 $C_1: x^2 + y^2 - 2ax - 3a^2 = 0$ と $C_2: x^2 + y^2 - 2x + 4y + 4 = 0$ が存在する。

(1) 円 $C_1$ の中心の座標と半径を $a$ を用いて表す。

(2) 円 $C_1$ と円 $C_2$ の中心間の距離を $d$ とする。$d^2$ を $a$ を用いて表す。

(3) 円 $C_1$ と円 $C_2$ が異なる2点で交わるような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円 $C_1$ の方程式を平方完成する。

$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = 3a^2 + a^2$

$(x - a)^2 + y^2 = 4a^2$

したがって、円 $C_1$ の中心の座標は $(a, 0)$ であり、半径は $2a$ である。

円 $C_2$ の方程式を平方完成する。

$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 4y + 4 = 1 + 4 - 4$

$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 1$

したがって、円 $C_2$ の中心の座標は $(1, -2)$ であり、半径は $1$ である。

(2) 円 $C_1$ の中心 $(a, 0)$ と円 $C_2$ の中心 $(1, -2)$ の間の距離 $d$ は、

$d = \sqrt{(a - 1)^2 + (0 - (-2))^2}$

$d = \sqrt{(a - 1)^2 + 4}$

$d^2 = (a - 1)^2 + 4 = a^2 - 2a + 1 + 4 = a^2 - 2a + 5$

(3) 円 $C_1$ と円 $C_2$ が異なる2点で交わる条件は、

$|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$

ここで、$r_1 = 2a$, $r_2 = 1$, $d = \sqrt{a^2 - 2a + 5}$ である。

$|2a - 1| < \sqrt{a^2 - 2a + 5} < 2a + 1$

まず、$\sqrt{a^2 - 2a + 5} < 2a + 1$ を考える。

両辺を2乗して、$a^2 - 2a + 5 < 4a^2 + 4a + 1$

$0 < 3a^2 + 6a - 4$

$3a^2 + 6a - 4 > 0$

$a = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 4(3)(-4)}}{6} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 48}}{6} = \frac{-6 \pm \sqrt{84}}{6} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{21}}{6} = \frac{-3 \pm \sqrt{21}}{3}$

$a > 0$ より、$a > \frac{-3 + \sqrt{21}}{3}$

次に、$|2a - 1| < \sqrt{a^2 - 2a + 5}$ を考える。

両辺を2乗して、$(2a - 1)^2 < a^2 - 2a + 5$

$4a^2 - 4a + 1 < a^2 - 2a + 5$

$3a^2 - 2a - 4 < 0$

$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(3)(-4)}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 48}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{52}}{6} = \frac{2 \pm 2\sqrt{13}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{3}$

$\frac{1 - \sqrt{13}}{3} < a < \frac{1 + \sqrt{13}}{3}$

$a > 0$ より、$0 < a < \frac{1 + \sqrt{13}}{3}$

したがって、$\frac{-3 + \sqrt{21}}{3} < a < \frac{1 + \sqrt{13}}{3}$

$\sqrt{21} \approx 4.58$, $\frac{-3+\sqrt{21}}{3} \approx \frac{1.58}{3} \approx 0.52$

$\sqrt{13} \approx 3.61$, $\frac{1+\sqrt{13}}{3} \approx \frac{4.61}{3} \approx 1.54$

$a > \frac{-3 + \sqrt{21}}{3}$ で、$2a > 1$, $a > \frac{1}{2}$ を満たす必要があるので、$a>\frac{-3+\sqrt{21}}{3}$ を満たす必要がある

最終的に、$\frac{-3 + \sqrt{21}}{3} < a < \frac{1 + \sqrt{13}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 中心の座標: $(a, 0)$, 半径: $2a$

(2) $d^2 = a^2 - 2a + 5$

(3) $\frac{-3 + \sqrt{21}}{3} < a < \frac{1 + \sqrt{13}}{3}$