与えられた曲線のうち、(1) $y=x^2-x-6$, (2) $y=-x^2+3x$ について、曲線と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求める問題です。

## 数学の問題

1. 問題の内容

与えられた曲線のうち、(1) $y=x^2-x-6$, (2) $y=-x^2+3x$ について、曲線と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求める問題です。

2. 解き方の手順

**(1) $y=x^2-x-6$ の場合**

* $x$軸との交点を求めます。$y=0$として、$x^2-x-6=0$ を解きます。

因数分解すると、$(x-3)(x+2)=0$ となるので、$x=3, -2$ が解となります。

* 面積を求める積分区間は $[-2, 3]$ です。この区間では $y=x^2-x-6$ は負の値を取るので、面積 $S$ は定積分の絶対値として計算します。

$S = \left| \int_{-2}^3 (x^2 - x - 6) dx \right|$

* 積分を計算します。

$\int (x^2 - x - 6) dx = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 6x + C$

* 定積分を計算します。

$\int_{-2}^3 (x^2 - x - 6) dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 6x \right]_{-2}^3$

$= \left( \frac{1}{3}(3)^3 - \frac{1}{2}(3)^2 - 6(3) \right) - \left( \frac{1}{3}(-2)^3 - \frac{1}{2}(-2)^2 - 6(-2) \right)$

$= \left( 9 - \frac{9}{2} - 18 \right) - \left( -\frac{8}{3} - 2 + 12 \right)$

$= -9 - \frac{9}{2} - \left( 10 - \frac{8}{3} \right)$

$= -9 - \frac{9}{2} - 10 + \frac{8}{3}$

$= -19 - \frac{27}{6} + \frac{16}{6} = -19 - \frac{11}{6} = -\frac{114+11}{6} = -\frac{125}{6}$

* 面積 $S$ は定積分の絶対値なので、

$S = \left| -\frac{125}{6} \right| = \frac{125}{6}$

**(2) $y=-x^2+3x$ の場合**

* $x$軸との交点を求めます。$y=0$として、$-x^2+3x=0$ を解きます。

因数分解すると、$x(-x+3)=0$ となるので、$x=0, 3$ が解となります。

* 面積を求める積分区間は $[0, 3]$ です。この区間では $y=-x^2+3x$ は正の値を取るので、面積 $S$ は定積分として計算します。

$S = \int_{0}^3 (-x^2 + 3x) dx$

* 積分を計算します。

$\int (-x^2 + 3x) dx = -\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + C$

* 定積分を計算します。

$\int_{0}^3 (-x^2 + 3x) dx = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 \right]_{0}^3$

$= \left( -\frac{1}{3}(3)^3 + \frac{3}{2}(3)^2 \right) - \left( -\frac{1}{3}(0)^3 + \frac{3}{2}(0)^2 \right)$

$= \left( -9 + \frac{27}{2} \right) - 0$

$= -9 + \frac{27}{2} = \frac{-18+27}{2} = \frac{9}{2}$

* 面積 $S$ は、

$S = \frac{9}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $S = \frac{125}{6}$

(2) $S = \frac{9}{2}$