与えられた曲線と $x$ 軸で囲まれた図形の面積 $S$ を求めます。具体的には、次の2つの問題について解きます。 (1) $y = x^2 - x - 6$ (2) $y = -x^2 + 3x$

1. 問題の内容

与えられた曲線と $x$ 軸で囲まれた図形の面積 $S$ を求めます。具体的には、次の2つの問題について解きます。

(1) $y = x^2 - x - 6$

(2) $y = -x^2 + 3x$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 - x - 6$ の場合

* まず、$x$ 軸との交点を求めます。$y = 0$ とおいて、$x^2 - x - 6 = 0$ を解きます。

$(x - 3)(x + 2) = 0$ より、$x = 3, -2$。

* $x$ 軸と曲線で囲まれた部分の面積は、定積分で求められます。$x$ が $-2$ から $3$ まで積分します。ただし、$x$ 軸より下にある部分の面積は負の値になるので、絶対値を取るか、積分範囲で関数の正負を確認して符号を調整します。この場合、$-2 \le x \le 3$ において $y = x^2 - x - 6 \le 0$ であるため、積分に $-1$ をかけます。

$S = -\int_{-2}^{3} (x^2 - x - 6) dx$

* 積分を実行します。

$S = -[\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 6x]_{-2}^{3}$

$S = -[(\frac{1}{3}(3^3) - \frac{1}{2}(3^2) - 6(3)) - (\frac{1}{3}(-2)^3 - \frac{1}{2}(-2)^2 - 6(-2))]$

$S = -[(9 - \frac{9}{2} - 18) - (-\frac{8}{3} - 2 + 12)]$

$S = -[-\frac{27}{2} - \frac{22}{3}]$

$S = -[-\frac{81 + 44}{6}]$

$S = \frac{125}{6}$

(2) $y = -x^2 + 3x$ の場合

* まず、$x$ 軸との交点を求めます。$y = 0$ とおいて、$-x^2 + 3x = 0$ を解きます。

$x(-x + 3) = 0$ より、$x = 0, 3$。

* $x$ 軸と曲線で囲まれた部分の面積は、定積分で求められます。$x$ が $0$ から $3$ まで積分します。この場合、$0 \le x \le 3$ において $y = -x^2 + 3x \ge 0$ であるため、そのまま積分できます。

$S = \int_{0}^{3} (-x^2 + 3x) dx$

* 積分を実行します。

$S = [-\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2]_{0}^{3}$

$S = (-\frac{1}{3}(3^3) + \frac{3}{2}(3^2)) - (-\frac{1}{3}(0^3) + \frac{3}{2}(0^2))$

$S = (-9 + \frac{27}{2}) - (0)$

$S = \frac{9}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{125}{6}$

(2) $\frac{9}{2}$